Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10 x^{3}$ по $x$ равна $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 x^{3} - 10 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $3$ на $- 10$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $24$ является константой относительно $x$ , производная $24 x^{2}$ по $x$ равна $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $2$ на $24$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.4.3

Умножим $3$ на $1$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.5.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 + 0$

Этап 1.1.5.2

Добавим $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 30 x^{2} + 48 x + 3 = 0$

Этап 2.2

Построим график каждой части уравнения. Решение — абсцисса (координата x) точки пересечения.

$x \approx - 0.0602156, 2.42586556, 5.13435004$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{4} - 10 x^{3} + 24 x^{2} + 3 x + 5$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = - 0.0602156$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $- 0.0602156$ вместо $x$ .

${(- 0.0602156)}^{4} - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $- 0.0602156$ в степень $4$ .

$0.00001314 - 10 {(- 0.0602156)}^{3} + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2.1.2

Возведем $- 0.0602156$ в степень $3$ .

$0.00001314 - 10 \cdot - 0.00021833 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 10$ на $- 0.00021833$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 {(- 0.0602156)}^{2} + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2.1.4

Возведем $- 0.0602156$ в степень $2$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 24 \cdot 0.00362591 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $24$ на $0.00362591$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 + 3 (- 0.0602156) + 5$

Этап 4.1.2.1.6

Умножим $3$ на $- 0.0602156$ .

$0.00001314 + 0.00218336 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Добавим $0.00001314$ и $0.00218336$ .

$0.00219651 + 0.08702206 - 0.18064681 + 5$

Этап 4.1.2.2.2

Добавим $0.00219651$ и $0.08702206$ .

$0.08921857 - 0.18064681 + 5$

Этап 4.1.2.2.3

Вычтем $0.18064681$ из $0.08921857$ .

$- 0.09142824 + 5$

Этап 4.1.2.2.4

Добавим $- 0.09142824$ и $5$ .

$4.90857175$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 2.42586556$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $2.42586556$ вместо $x$ .

${(2.42586556)}^{4} - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Возведем $2.42586556$ в степень $4$ .

$34.63115044 - 10 {(2.42586556)}^{3} + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2.1.2

Возведем $2.42586556$ в степень $3$ .

$34.63115044 - 10 \cdot 14.27579126 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2.1.3

Умножим $- 10$ на $14.27579126$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 {(2.42586556)}^{2} + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2.1.4

Возведем $2.42586556$ в степень $2$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 24 \cdot 5.88482373 + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2.1.5

Умножим $24$ на $5.88482373$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 3 (2.42586556) + 5$

Этап 4.2.2.1.6

Умножим $3$ на $2.42586556$ .

$34.63115044 - 142.75791264 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Этап 4.2.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.2.1

Вычтем $142.75791264$ из $34.63115044$ .

$- 108.1267622 + 141.23576974 + 7.27759669 + 5$

Этап 4.2.2.2.2

Добавим $- 108.1267622$ и $141.23576974$ .

$33.10900753 + 7.27759669 + 5$

Этап 4.2.2.2.3

Добавим $33.10900753$ и $7.27759669$ .

$40.38660422 + 5$

Этап 4.2.2.2.4

Добавим $40.38660422$ и $5$ .

$45.38660422$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = 5.13435004$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $5.13435004$ вместо $x$ .

${(5.13435004)}^{4} - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Возведем $5.13435004$ в степень $4$ .

$694.93133641 - 10 {(5.13435004)}^{3} + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $5.13435004$ в степень $3$ .

$694.93133641 - 10 \cdot 135.34942707 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2.1.3

Умножим $- 10$ на $135.34942707$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 {(5.13435004)}^{2} + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2.1.4

Возведем $5.13435004$ в степень $2$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 24 \cdot 26.36155034 + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2.1.5

Умножим $24$ на $26.36155034$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 3 (5.13435004) + 5$

Этап 4.3.2.1.6

Умножим $3$ на $5.13435004$ .

$694.93133641 - 1353.49427072 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Этап 4.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вычтем $1353.49427072$ из $694.93133641$ .

$- 658.5629343 + 632.67720819 + 15.40305012 + 5$

Этап 4.3.2.2.2

Добавим $- 658.5629343$ и $632.67720819$ .

$- 25.88572611 + 15.40305012 + 5$

Этап 4.3.2.2.3

Добавим $- 25.88572611$ и $15.40305012$ .

$- 10.48267598 + 5$

Этап 4.3.2.2.4

Добавим $- 10.48267598$ и $5$ .

$- 5.48267598$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(- 0.0602156, 4.90857175), (2.42586556, 45.38660422), (5.13435004, - 5.48267598)$

Этап 5