Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x + 2$ и $g (x) = x^{2} - 3 x - 10$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \frac{d}{d x} [x + 2] - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (1 + 0) - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) \cdot 1 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.4.2

Умножим $x^{2} - 3 x - 10$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3 x - 10]}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 3 x - 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.7

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.9

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + \frac{d}{d x} [- 10])}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.10

Поскольку $- 10$ является константой относительно $x$ , производная $- 10$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3 + 0)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.2.11

Добавим $2 x - 3$ и $0$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - (x + 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 1 \cdot 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 + (- x - 2) (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2

Развернем $(- x - 2) (2 x - 3)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x - 3) - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x - 3)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - x (2 x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x \cdot x - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 (x \cdot x) - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 1 \cdot 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x \cdot - 3 - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.4

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 2 (2 x) - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x - 2 \cdot - 3}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.1.6

Умножим $- 2$ на $- 3$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} + 3 x - 4 x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.1.3.2

Вычтем $4 x$ из $3 x$ .

$\frac{x^{2} - 3 x - 10 - 2 x^{2} - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.2

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} - 3 x - 10 - x + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.3

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 10 + 6}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.2.4

Добавим $- 10$ и $6$ .

$\frac{- x^{2} - 4 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ , а сумма — $b = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Вынесем множитель $- 4$ из $- 4 x$ .

$\frac{- x^{2} - 4 (x) - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Запишем $- 4$ как $- 2$ плюс $- 2$

$\frac{- x^{2} + (- 2 - 2) x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 2 x - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) - 2 x - 4}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{x (- x - 2) + 2 (- x - 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.3.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x^{2} - 3 x - 10)}^{2}}$

Этап 1.1.3.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Разложим $x^{2} - 3 x - 10$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 10$ , а сумма — $- 3$ .

$- 5, 2$

Этап 1.1.3.4.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{((x - 5) (x + 2))}^{2}}$

Этап 1.1.3.4.2

Применим правило умножения к $(x - 5) (x + 2)$ .

$\frac{(- x - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.2

Перепишем $- 2$ в виде $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.4

Перепишем $- (x + 2)$ в виде $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x + 2)}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.5

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} (x + 2))}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.6

Возведем $x + 2$ в степень $1$ .

$\frac{- 1 ({(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1})}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{1 + 1}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.5.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6

Сократим общий множитель ${(x + 2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 {(x + 2)}^{2}}{{(x - 5)}^{2} {(x + 2)}^{2}}$

Этап 1.1.3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.1.3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{1}{{(x - 5)}^{2}} = 0$

Этап 2.2

Приравняем числитель к нулю.

$1 = 0$

Этап 2.3

Поскольку $1 \neq 0$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{{(x - 5)}^{2}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

${(x - 5)}^{2} = 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 3.2.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 4

Вычислим $\frac{x + 2}{x^{2} - 3 x - 10}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $5$ вместо $x$ .

$\frac{(5) + 2}{{(5)}^{2} - 3 \cdot 5 - 10}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 3 \cdot 5 - 10}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 3$ на $5$ .

$\frac{(5) + 2}{25 - 15 - 10}$

Этап 4.1.2.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.2.1

Вычтем $15$ из $25$ .

$\frac{(5) + 2}{10 - 10}$

Этап 4.1.2.2.2

Вычтем $10$ из $10$ .

$\frac{(5) + 2}{0}$

Этап 4.1.2.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{(5) + 2}{0}$

Этап 4.1.2.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

Этап 5

В области определения исходной задачи нет значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

Критические точки не найдены