Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{6} {(x - 3)}^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{6}$ и $g (x) = {(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} \frac{d}{d x} ({(x - 3)}^{5}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{5}$ и $g (x) = x - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = x^{6} (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 3$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \frac{d}{d x} (x - 3)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

По правилу суммы производная $x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + \frac{d}{d x} (- 3))) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3.3

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} (1 + 0)) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4} \cdot 1) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3.4.2

Умножим $5$ на $1$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{6})$

Этап 1.1.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 6$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + {(x - 3)}^{5} (6 x^{5})$

Этап 1.1.3.6

Перенесем $6$ влево от ${(x - 3)}^{5}$ .

$f' (x) = x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 \cdot ({(x - 3)}^{5} x^{5})$

Этап 1.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Вынесем множитель $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ из $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4}) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1.1

Вынесем множитель $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ из $x^{6} (5 {(x - 3)}^{4})$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + 6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$

Этап 1.1.4.1.2

Вынесем множитель $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ из $6 {(x - 3)}^{5} x^{5}$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$

Этап 1.1.4.1.3

Вынесем множитель $x^{5} {(x - 3)}^{4}$ из $x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5)) + x^{5} {(x - 3)}^{4} (6 (x - 3))$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (x \cdot (5) + 6 (x - 3))$

Этап 1.1.4.2

Перенесем $5$ влево от $x$ .

$f' (x) = x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3))$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$

Этап 2.2

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{5} = 0$

${(x - 3)}^{4} = 0$

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Этап 2.3

Приравняем $x^{5}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Приравняем $x^{5}$ к $0$ .

$x^{5} = 0$

Этап 2.3.2

Решим $x^{5} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 2.3.2.2

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 2.3.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 2.4

Приравняем ${(x - 3)}^{4}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем ${(x - 3)}^{4}$ к $0$ .

${(x - 3)}^{4} = 0$

Этап 2.4.2

Решим ${(x - 3)}^{4} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $5 x + 6 (x - 3)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $5 x + 6 (x - 3)$ к $0$ .

$5 x + 6 (x - 3) = 0$

Этап 2.5.2

Решим $5 x + 6 (x - 3) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Упростим $5 x + 6 (x - 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x + 6 x + 6 \cdot - 3 = 0$

Этап 2.5.2.1.1.2

Умножим $6$ на $- 3$ .

$5 x + 6 x - 18 = 0$

Этап 2.5.2.1.2

Добавим $5 x$ и $6 x$ .

$11 x - 18 = 0$

Этап 2.5.2.2

Добавим $18$ к обеим частям уравнения.

$11 x = 18$

Этап 2.5.2.3

Разделим каждый член $11 x = 18$ на $11$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.1

Разделим каждый член $11 x = 18$ на $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Этап 2.5.2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{11 x}{11} = \frac{18}{11}$

Этап 2.5.2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{18}{11}$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $x^{5} {(x - 3)}^{4} (5 x + 6 (x - 3)) = 0$ верно.

$x = 0, 3, \frac{18}{11}$

Этап 3

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 4

Вычислим $x^{6} {(x - 3)}^{5}$ для каждого значения $x$ , для которого производная равна $0$ или не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем значение в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Подставим $0$ вместо $x$ .

${(0)}^{6} {((0) - 3)}^{5}$

Этап 4.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 {((0) - 3)}^{5}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем $3$ из $0$ .

$0 {(- 3)}^{5}$

Этап 4.1.2.3

Возведем $- 3$ в степень $5$ .

$0 \cdot - 243$

Этап 4.1.2.4

Умножим $0$ на $- 243$ .

$0$

Этап 4.2

Найдем значение в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

${(3)}^{6} {((3) - 3)}^{5}$

Этап 4.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Возведем $3$ в степень $6$ .

$729 {((3) - 3)}^{5}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $3$ из $3$ .

$729 \cdot 0^{5}$

Этап 4.2.2.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$729 \cdot 0$

Этап 4.2.2.4

Умножим $729$ на $0$ .

$0$

Этап 4.3

Найдем значение в $x = \frac{18}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{18}{11}$ вместо $x$ .

${(\frac{18}{11})}^{6} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Этап 4.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Применим правило умножения к $\frac{18}{11}$ .

$\frac{18^{6}}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Этап 4.3.2.2

Возведем $18$ в степень $6$ .

$\frac{34012224}{11^{6}} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Этап 4.3.2.3

Возведем $11$ в степень $6$ .

$\frac{34012224}{1771561} {((\frac{18}{11}) - 3)}^{5}$

Этап 4.3.2.4

Чтобы записать $- 3$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} - 3 \cdot \frac{11}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.5

Объединим $- 3$ и $\frac{11}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18}{11} + \frac{- 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 3 \cdot 11}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.7.1

Умножим $- 3$ на $11$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{18 - 33}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.7.2

Вычтем $33$ из $18$ .

$\frac{34012224}{1771561} {(\frac{- 15}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{34012224}{1771561} {(- \frac{15}{11})}^{5}$

Этап 4.3.2.9

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.9.1

Применим правило умножения к $- \frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} {(\frac{15}{11})}^{5})$

Этап 4.3.2.9.2

Применим правило умножения к $\frac{15}{11}$ .

$\frac{34012224}{1771561} ({(- 1)}^{5} \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Этап 4.3.2.10

Возведем $- 1$ в степень $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{15^{5}}{11^{5}})$

Этап 4.3.2.11

Возведем $15$ в степень $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{11^{5}})$

Этап 4.3.2.12

Возведем $11$ в степень $5$ .

$\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$

Этап 4.3.2.13

Умножим $\frac{34012224}{1771561} (- \frac{759375}{161051})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.13.1

Умножим $\frac{34012224}{1771561}$ на $\frac{759375}{161051}$ .

$- \frac{34012224 \cdot 759375}{1771561 \cdot 161051}$

Этап 4.3.2.13.2

Умножим $34012224$ на $759375$ .

$- \frac{25828032600000}{1771561 \cdot 161051}$

Этап 4.3.2.13.3

Умножим $1771561$ на $161051$ .

$- \frac{25828032600000}{285311670611}$

Этап 4.4

Перечислим все точки.

$(0, 0), (3, 0), (\frac{18}{11}, - \frac{25828032600000}{285311670611})$

Этап 5