Математический анализ Примеры

$\cos^{2} (\frac{7 π}{8})$

Этап 1

Точное значение $\cos (\frac{7 π}{8})$ : $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $\frac{7 π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\cos^{2} (\frac{\frac{7 π}{4}}{2})$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для косинуса $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

${(\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $-$ , поскольку косинус принимает отрицательные значения во втором квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}})}^{2}$

Этап 1.4

Упростим $- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{7 π}{4})}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

${(- \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}})}^{2}$

Этап 1.4.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Этап 1.4.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Этап 1.4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

${(- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}})}^{2}$

Этап 1.4.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}})}^{2}$

Этап 1.4.6

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.6.1

Умножим $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}})}^{2}$

Этап 1.4.6.2

Умножим $2$ на $2$ .

${(- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}})}^{2}$

Этап 1.4.7

Перепишем $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}})}^{2}$

Этап 1.4.8

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}})}^{2}$

Этап 1.4.8.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

${(- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Этап 2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило умножения к $- \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

${(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$1 \frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$ на $1$ .

$\frac{{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}}{2^{2}}$

Этап 4

Перепишем ${\sqrt{2 + \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $2 + \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 + \sqrt{2}}$ в виде ${(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{({(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Этап 4.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Этап 4.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 4.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Этап 4.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{(2 + \sqrt{2})}^{1}}{2^{2}}$

Этап 4.5

Упростим.

$\frac{2 + \sqrt{2}}{2^{2}}$

Этап 5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}$

Десятичная форма:

$0.85355339 \dots$