Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Этап 1

Запишем $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ в виде уравнения.

$y = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$

Этап 2

Поменяем переменные местами.

$x = \frac{6}{5} \cdot \cos (y)$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$ .

$\frac{6}{5} \cdot \cos (y) = x$

Этап 3.2

Умножим обе части уравнения на $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Упростим $\frac{5}{6} (\frac{6}{5} \cos (y))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Объединим $\frac{6}{5}$ и $\cos (y)$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5}{6} \cdot \frac{6 \cos (y)}{5} = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.1.1.3

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.3.1

Вынесем множитель $6$ из $6 \cos (y)$ .

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.1.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{6} (6 \cos (y)) = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.1.1.3.3

Перепишем это выражение.

$\cos (y) = \frac{5}{6} x$

Этап 3.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Объединим $\frac{5}{6}$ и $x$ .

$\cos (y) = \frac{5 x}{6}$

Этап 3.4

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Этап 4

Заменим $y$ на $f^{- 1} (x)$ , чтобы получить окончательный ответ.

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$

Этап 5

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ обратной к $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 5.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 5.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{5 (\frac{6}{5} \cdot \cos (x))}{6})$

Этап 5.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Объединим $5$ и $\frac{6}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot 6}{5} \cdot \cos (x)}{6})$

Этап 5.2.3.2

Объединим $\frac{5 \cdot 6}{5}$ и $\cos (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 \cdot (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Этап 5.2.4

Умножим $5$ на $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{30 \cos (x)}{5}}{6})$

Этап 5.2.5

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Сократим выражение $\frac{30 \cos (x)}{5}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1.1

Вынесем множитель $5$ из $30 \cos (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5}}{6})$

Этап 5.2.5.1.2

Вынесем множитель $5$ из $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 (1)}}{6})$

Этап 5.2.5.1.3

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{5 (6 \cos (x))}{5 \cdot 1}}{6})$

Этап 5.2.5.1.4

Перепишем это выражение.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{\frac{6 \cos (x)}{1}}{6})$

Этап 5.2.5.2

Разделим $6 \cos (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Этап 5.2.6

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Сократим общий множитель.

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\frac{6 \cos (x)}{6})$

Этап 5.2.6.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{5} \cdot \cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Этап 5.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 5.3.2

Найдем значение $f (\arccos (\frac{5 x}{6}))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \cos (\arccos (\frac{5 x}{6}))$

Этап 5.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Этап 5.3.4

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{6}{5} \cdot \frac{5 x}{6}$

Этап 5.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Этап 5.3.5

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x$ .

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 (x))$

Этап 5.3.5.2

Сократим общий множитель.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = \frac{1}{5} \cdot (5 x)$

Этап 5.3.5.3

Перепишем это выражение.

$f (\arccos (\frac{5 x}{6})) = x$

Этап 5.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$ — обратная к $f (x) = \frac{6}{5} \cdot \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (\frac{5 x}{6})$