Математический анализ Примеры

$\cos (x)$

Этап 1

Поменяем переменные местами.

$x = \cos (y)$

Этап 2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем уравнение в виде $\cos (y) = x$ .

$\cos (y) = x$

Этап 2.2

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $y$ из косинуса.

$y = \arccos (x)$

Этап 2.3

Избавимся от скобок.

$y = \arccos (x)$

Этап 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arccos (x)$

Этап 4

Проверим, является ли $f^{- 1} (x) = \arccos (x)$ обратной к $f (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы подтвердить обратную, проверим выполнение условий $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Этап 4.2

Найдем значение $f^{- 1} (f (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f^{- 1} (f (x))$

Этап 4.2.2

Найдем значение $f^{- 1} (\cos (x))$ , подставив значение $f$ в $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\cos (x)) = \arccos (\cos (x))$

Этап 4.3

Найдем значение $f (f^{- 1} (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Представим результирующую суперпозицию функций.

$f (f^{- 1} (x))$

Этап 4.3.2

Найдем значение $f (\arccos (x))$ , подставив значение $f^{- 1}$ в $f$ .

$f (\arccos (x)) = \cos (\arccos (x))$

Этап 4.3.3

Косинус и арккосинус — обратные функции.

$f (\arccos (x)) = x$

Этап 4.4

Так как $f^{- 1} (f (x)) = x$ и $f (f^{- 1} (x)) = x$ , то $f^{- 1} (x) = \arccos (x)$ — обратная к $f (x) = \cos (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arccos (x)$