Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ и ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ из ${(- \frac{1}{3})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{3})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим ${(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Этап 2.2.2

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - (n - 1)}$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n - - 1}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{n - n + 1}$

Этап 2.2.4

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- \frac{1}{3})}^{1}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$r = - \frac{1}{3}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $n$ в ${(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = {(- \frac{1}{3})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} {(\frac{1}{3})}^{0}$

Этап 4.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{3}$ .

$a = {(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1 \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Этап 4.2.4

Умножим $\frac{1^{0}}{3^{0}}$ на $1$ .

$a = \frac{1^{0}}{3^{0}}$

Этап 4.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{3^{0}}$

Этап 4.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = \frac{1}{1}$

Этап 4.2.7

Разделим $1$ на $1$ .

$a = 1$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{1}{1 - - \frac{1}{3}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- - \frac{1}{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{1 + 1 (\frac{1}{3})}$

Этап 6.1.1.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

Этап 6.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

Этап 6.1.4

Добавим $3$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 (\frac{3}{4})$

Этап 6.3

Умножим $\frac{3}{4}$ на $1$ .

$\frac{3}{4}$