Математический анализ Примеры

$\sum_{x = 1}^{8} 15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{x + 1}}{a_{x}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{x}$ и $a_{x + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{15 {(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ и ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ из ${(- \frac{5}{7})}^{x + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{{(- \frac{5}{7})}^{x - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x + 0 - (x - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $x$ и $0$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - (x - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{x - x + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $x$ из $x$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- \frac{5}{7})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = - \frac{5}{7}$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $x$ в $15 {(- \frac{5}{7})}^{x - 1}$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 15 {(- \frac{5}{7})}^{0}$

Этап 3.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} {(\frac{5}{7})}^{0})$

Этап 3.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{7}$ .

$a = 15 ({(- 1)}^{0} \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Этап 3.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 15 (1 \frac{5^{0}}{7^{0}})$

Этап 3.2.4

Умножим $\frac{5^{0}}{7^{0}}$ на $1$ .

$a = 15 \frac{5^{0}}{7^{0}}$

Этап 3.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 15 \frac{1}{7^{0}}$

Этап 3.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.7.1

Сократим общий множитель.

$a = 15 (\frac{1}{1})$

Этап 3.2.7.2

Перепишем это выражение.

$a = 15 \cdot 1$

Этап 3.2.8

Умножим $15$ на $1$ .

$a = 15$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$15 \frac{1 - {(- \frac{5}{7})}^{8}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Применим правило умножения к $- \frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} {(\frac{5}{7})}^{8})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{7}$ .

$15 \frac{1 - ({(- 1)}^{8} \frac{5^{8}}{7^{8}})}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{8}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Перенесем ${(- 1)}^{8}$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot - 1 \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.2.2

Умножим ${(- 1)}^{8}$ на $- 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.2.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{8 + 1} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.2.3

Добавим $8$ и $1$ .

$15 \frac{1 + {(- 1)}^{9} \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.3

Возведем $- 1$ в степень $9$ .

$15 \frac{1 - \frac{5^{8}}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.4

Возведем $5$ в степень $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{7^{8}}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.5

Возведем $7$ в степень $8$ .

$15 \frac{1 - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$15 \frac{\frac{5764801}{5764801} - \frac{390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 \frac{\frac{5764801 - 390625}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.1.8

Вычтем $390625$ из $5764801$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 - - \frac{5}{7}}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- - \frac{5}{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + 1 (\frac{5}{7})}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{5}{7}$ на $1$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{1 + \frac{5}{7}}$

Этап 5.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7}{7} + \frac{5}{7}}$

Этап 5.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{7 + 5}{7}}$

Этап 5.2.4

Добавим $7$ и $5$ .

$15 \frac{\frac{5374176}{5764801}}{\frac{12}{7}}$

Этап 5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$15 (\frac{5374176}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $12$ из $5374176$ .

$15 (\frac{12 (447848)}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Этап 5.4.2

Сократим общий множитель.

$15 (\frac{12 \cdot 447848}{5764801} \cdot \frac{7}{12})$

Этап 5.4.3

Перепишем это выражение.

$15 (\frac{447848}{5764801} \cdot 7)$

Этап 5.5

Сократим общий множитель $7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $7$ из $5764801$ .

$15 (\frac{447848}{7 (823543)} \cdot 7)$

Этап 5.5.2

Сократим общий множитель.

$15 (\frac{447848}{7 \cdot 823543} \cdot 7)$

Этап 5.5.3

Перепишем это выражение.

$15 (\frac{447848}{823543})$

Этап 5.6

Умножим $15 (\frac{447848}{823543})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Объединим $15$ и $\frac{447848}{823543}$ .

$\frac{15 \cdot 447848}{823543}$

Этап 5.6.2

Умножим $15$ на $447848$ .

$\frac{6717720}{823543}$