Математический анализ Примеры

$\sin (3 x) = \cos (2 x)$

Этап 1

Вычтем $\cos (2 x)$ из обеих частей уравнения.

$\sin (3 x) - \cos (2 x) = 0$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим формулу тройного угла для синуса.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - \cos (2 x) = 0$

Этап 2.2

Используем формулу двойного угла для преобразования $\cos (2 x)$ в $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 \cdot 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 - (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Этап 2.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x) = 0$

Этап 3

Разложим $- 4 \sin^{3} (x) + 3 \sin (x) - 1 + 2 \sin^{2} (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Изменим порядок членов.

$- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1 = 0$

Этап 3.2

Разложим $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Этап 3.2.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5$

Этап 3.2.3

Подставим $1$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $1$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Подставим $1$ в многочлен.

$- 4 \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.2

Возведем $1$ в степень $3$ .

$- 4 \cdot 1 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$- 4 + 2 \cdot 1^{2} + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.4

Возведем $1$ в степень $2$ .

$- 4 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.5

Умножим $2$ на $1$ .

$- 4 + 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.6

Добавим $- 4$ и $2$ .

$- 2 + 3 \cdot 1 - 1$

Этап 3.2.3.7

Умножим $3$ на $1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Этап 3.2.3.8

Добавим $- 2$ и $3$ .

$1 - 1$

Этап 3.2.3.9

Вычтем $1$ из $1$ .

$0$

Этап 3.2.4

Поскольку $1$ — известный корень, разделим многочлен на $\sin (x) - 1$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1}{\sin (x) - 1}$

Этап 3.2.5

Разделим $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ на $\sin (x) - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$\sin (x)$

$1$

$4 \sin^{3} (x)$

$2 \sin^{2} (x)$

$3 \sin (x)$

$1$

Этап 3.2.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 4 \sin^{3} (x)$ на член с максимальной степенью в делителе $\sin (x)$ .

				-	$4 \sin^{2} (x)$
	$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$

Этап 3.2.5.3

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$4 \sin^{2} (x)$

Этап 3.2.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 4 \sin^{3} (x) + 4 \sin^{2} (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$

Этап 3.2.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$

Этап 3.2.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 \sin^{2} (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

Этап 3.2.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 \sin^{2} (x)$ на член с максимальной степенью в делителе $\sin (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$

Этап 3.2.5.8

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$2 \sin (x)$

Этап 3.2.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$

Этап 3.2.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$

Этап 3.2.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Этап 3.2.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $\sin (x)$ на член с максимальной степенью в делителе $\sin (x)$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Этап 3.2.5.13

Умножим новое частное на делитель.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							+	$\sin (x)$	-	$1$

Этап 3.2.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $\sin (x) - 1$ .

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$

Этап 3.2.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$4 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$	+	$1$
$\sin (x)$	-	$1$	-	$4 \sin^{3} (x)$	+	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$	-	$1$
			+	$4 \sin^{3} (x)$	-	$4 \sin^{2} (x)$
					-	$2 \sin^{2} (x)$	+	$3 \sin (x)$
					+	$2 \sin^{2} (x)$	-	$2 \sin (x)$
							+	$\sin (x)$	-	$1$
							-	$\sin (x)$	+	$1$
										$0$

Этап 3.2.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$

Этап 3.2.6

Запишем $- 4 \sin^{3} (x) + 2 \sin^{2} (x) + 3 \sin (x) - 1$ в виде набора множителей.

$(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 5

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Приравняем $\sin (x) - 1$ к $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Этап 5.2

Решим $\sin (x) - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$\sin (x) = 1$

Этап 5.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (1)$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Точное значение $\arcsin (1)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.4

Функция синуса положительна в первом и втором квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем угол приведения из $π$ и найдем решение во втором квадранте.

$x = π - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5

Упростим $π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.2.1

Объединим $π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 5.2.5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 5.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.3.1

Перенесем $2$ влево от $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Этап 5.2.5.3.2

Вычтем $π$ из $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 5.2.6

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.6.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 5.2.6.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 5.2.6.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 5.2.6.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 5.2.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6

Приравняем $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1$ к $0$ .

$- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Подставим $u$ вместо $\sin (x)$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 1 = 0$

Этап 6.2.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6.2.3

Подставим значения $a = - 4$ , $b = - 2$ и $c = 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 1)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.2

Умножим $- 4 \cdot - 4 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.2.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 1}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.2.2

Умножим $16$ на $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.3

Добавим $4$ и $16$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.4

Перепишем $20$ в виде $2^{2} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.4.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $20$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.4.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot - 4}$

Этап 6.2.4.2

Умножим $2$ на $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$

Этап 6.2.4.3

Упростим $\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 4}$

Этап 6.2.4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.6

Подставим $\sin (x)$ вместо $u$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.7

Выпишем каждое выражение, чтобы найти решение для $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$

Этап 6.2.8

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$

Этап 6.2.8.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 + \sqrt{5}}{4})$ .

$x = - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.8.3

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π$

Этап 6.2.8.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ .

$x = 2 π + \frac{3 π}{10} + π - 2 π$

Этап 6.2.8.4.2

Результирующий угол $\frac{13 π}{10}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{3 π}{10} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{13 π}{10}$

Этап 6.2.8.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.8.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.8.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.8.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.8.6

Добавим $2 π$ к каждому отрицательному углу, чтобы получить положительные углы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.1

Добавим $2 π$ к $- \frac{3 π}{10}$ , чтобы найти положительный угол.

$- \frac{3 π}{10} + 2 π$

Этап 6.2.8.6.2

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{10}{10}$ .

$2 π \cdot \frac{10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.8.6.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.3.1

Объединим $2 π$ и $\frac{10}{10}$ .

$\frac{2 π \cdot 10}{10} - \frac{3 π}{10}$

Этап 6.2.8.6.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 π \cdot 10 - 3 π}{10}$

Этап 6.2.8.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.8.6.4.1

Умножим $10$ на $2$ .

$\frac{20 π - 3 π}{10}$

Этап 6.2.8.6.4.2

Вычтем $3 π$ из $20 π$ .

$\frac{17 π}{10}$

Этап 6.2.8.6.5

Перечислим новые углы.

$x = \frac{17 π}{10}$

Этап 6.2.8.7

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.9

Решим относительно $x$ в $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.1

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$

Этап 6.2.9.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.2.1

Найдем значение $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{4})$ .

$x = \frac{π}{10}$

Этап 6.2.9.3

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π$

Этап 6.2.9.4

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.4.1

Вычтем $2 π$ из $2 π - \frac{π}{10} + π$ .

$x = 2 π - \frac{π}{10} + π - 2 π$

Этап 6.2.9.4.2

Результирующий угол $\frac{9 π}{10}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π - \frac{π}{10} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{9 π}{10}$

Этап 6.2.9.5

Найдем период $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.9.5.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 6.2.9.5.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Этап 6.2.9.5.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Этап 6.2.9.5.4

Разделим $2 π$ на $1$ .

$2 π$

Этап 6.2.9.6

Период функции $\sin (x)$ равен $2 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $2 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 6.2.10

Перечислим все решения.

$x = \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 7

Окончательным решением являются все значения, при которых $(\sin (x) - 1) (- 4 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{13 π}{10} + 2 π n, \frac{17 π}{10} + 2 π n, \frac{π}{10} + 2 π n, \frac{9 π}{10} + 2 π n$ , для любого целого $n$

Этап 8

Объединим ответы.

$x = \frac{π}{10} + \frac{2 π n}{5}$ , для любого целого $n$