Математический анализ Примеры

$1485 = x^{2} (0.08 x + 59)$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $x^{2} (0.08 x + 59) = 1485$ .

$x^{2} (0.08 x + 59) = 1485$

Этап 2

Упростим $x^{2} (0.08 x + 59)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} (0.08 x) + x^{2} \cdot 59 = 1485$

Этап 2.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$0.08 x^{2} x + x^{2} \cdot 59 = 1485$

Этап 2.1.2.2

Перенесем $59$ влево от $x^{2}$ .

$0.08 x^{2} x + 59 \cdot x^{2} = 1485$

Этап 2.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перенесем $x$ .

$0.08 (x \cdot x^{2}) + 59 \cdot x^{2} = 1485$

Этап 2.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$0.08 (x^{1} x^{2}) + 59 \cdot x^{2} = 1485$

Этап 2.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$0.08 x^{1 + 2} + 59 \cdot x^{2} = 1485$

Этап 2.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$0.08 x^{3} + 59 \cdot x^{2} = 1485$

$0.08 x^{3} + 59 x^{2} = 1485$

Этап 3

Вычтем $1485$ из обеих частей уравнения.

$0.08 x^{3} + 59 x^{2} - 1485 = 0$

Этап 4

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $0.04$ из $0.08 x^{3} + 59 x^{2} - 1485$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $0.04$ из $0.08 x^{3}$ .

$0.04 (2 x^{3}) + 59 x^{2} - 1485 = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $0.04$ из $59 x^{2}$ .

$0.04 (2 x^{3}) + 0.04 (1475 x^{2}) - 1485 = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $0.04$ из $- 1485$ .

$0.04 (2 x^{3}) + 0.04 (1475 x^{2}) + 0.04 (- 37125) = 0$

Этап 4.1.4

Вынесем множитель $0.04$ из $0.04 (2 x^{3}) + 0.04 (1475 x^{2})$ .

$0.04 (2 x^{3} + 1475 x^{2}) + 0.04 (- 37125) = 0$

Этап 4.1.5

Вынесем множитель $0.04$ из $0.04 (2 x^{3} + 1475 x^{2}) + 0.04 (- 37125)$ .

$0.04 (2 x^{3} + 1475 x^{2} - 37125) = 0$

Этап 4.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разложим $2 x^{3} + 1475 x^{2} - 37125$ на множители, используя теорему о рациональных корнях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Если у многочленной функции целые коэффициенты, то каждый рациональный ноль будет иметь вид $\frac{p}{q}$ , где $p$ — делитель константы, а $q$ — делитель старшего коэффициента.

$p = \pm 1, \pm 37125, \pm 3, \pm 12375, \pm 5, \pm 7425, \pm 9, \pm 4125, \pm 11, \pm 3375, \pm 15, \pm 2475, \pm 25, \pm 1485, \pm 27, \pm 1375, \pm 33, \pm 1125, \pm 45, \pm 825, \pm 55, \pm 675, \pm 75, \pm 495, \pm 99, \pm 375, \pm 125, \pm 297, \pm 135, \pm 275, \pm 165, \pm 225$

$q = \pm 1, \pm 2$

Этап 4.2.1.2

Найдем все комбинации $\pm \frac{p}{q}$ . Это ― возможные корни многочлена.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 37125, \pm 18562.5, \pm 3, \pm 1.5, \pm 12375, \pm 6187.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 7425, \pm 3712.5, \pm 9, \pm 4.5, \pm 4125, \pm 2062.5, \pm 11, \pm 5.5, \pm 3375, \pm 1687.5, \pm 15, \pm 7.5, \pm 2475, \pm 1237.5, \pm 25, \pm 12.5, \pm 1485, \pm 742.5, \pm 27, \pm 13.5, \pm 1375, \pm 687.5, \pm 33, \pm 16.5, \pm 1125, \pm 562.5, \pm 45, \pm 22.5, \pm 825, \pm 412.5, \pm 55, \pm 27.5, \pm 675, \pm 337.5, \pm 75, \pm 37.5, \pm 495, \pm 247.5, \pm 99, \pm 49.5, \pm 375, \pm 187.5, \pm 125, \pm 62.5, \pm 297, \pm 148.5, \pm 135, \pm 67.5, \pm 275, \pm 137.5, \pm 165, \pm 82.5, \pm 225, \pm 112.5$

Этап 4.2.1.3

Подставим $5$ и упростим выражение. В этом случае выражение равно $0$ , поэтому $5$ является корнем многочлена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Подставим $5$ в многочлен.

$2 \cdot 5^{3} + 1475 \cdot 5^{2} - 37125$

Этап 4.2.1.3.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$2 \cdot 125 + 1475 \cdot 5^{2} - 37125$

Этап 4.2.1.3.3

Умножим $2$ на $125$ .

$250 + 1475 \cdot 5^{2} - 37125$

Этап 4.2.1.3.4

Возведем $5$ в степень $2$ .

$250 + 1475 \cdot 25 - 37125$

Этап 4.2.1.3.5

Умножим $1475$ на $25$ .

$250 + 36875 - 37125$

Этап 4.2.1.3.6

Добавим $250$ и $36875$ .

$37125 - 37125$

Этап 4.2.1.3.7

Вычтем $37125$ из $37125$ .

$0$

Этап 4.2.1.4

Поскольку $5$ — известный корень, разделим многочлен на $x - 5$ , чтобы найти частное многочленов. Этот многочлен можно будет использовать, чтобы найти оставшиеся корни.

$\frac{2 x^{3} + 1475 x^{2} - 37125}{x - 5}$

Этап 4.2.1.5

Разделим $2 x^{3} + 1475 x^{2} - 37125$ на $x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$5$

$2 x^{3}$

$1475 x^{2}$

$0 x$

$37125$

Этап 4.2.1.5.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $2 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$

Этап 4.2.1.5.3

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			+	$2 x^{3}$	-	$10 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $2 x^{3} - 10 x^{2}$ .

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$

Этап 4.2.1.5.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 4.2.1.5.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $1485 x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$

Этап 4.2.1.5.8

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$1485 x^{2}$	-	$7425 x$

Этап 4.2.1.5.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $1485 x^{2} - 7425 x$ .

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$

Этап 4.2.1.5.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$

Этап 4.2.1.5.11

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$	-	$37125$

Этап 4.2.1.5.12

Разделим член с максимальной степенью в делимом $7425 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$	+	$7425$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$	-	$37125$

Этап 4.2.1.5.13

Умножим новое частное на делитель.

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$	+	$7425$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$	-	$37125$
							+	$7425 x$	-	$37125$

Этап 4.2.1.5.14

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $7425 x - 37125$ .

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$	+	$7425$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$	-	$37125$
							-	$7425 x$	+	$37125$

Этап 4.2.1.5.15

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$2 x^{2}$	+	$1485 x$	+	$7425$
$x$	-	$5$		$2 x^{3}$	+	$1475 x^{2}$	+	$0 x$	-	$37125$
			-	$2 x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					+	$1485 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$1485 x^{2}$	+	$7425 x$
							+	$7425 x$	-	$37125$
							-	$7425 x$	+	$37125$
										$0$

Этап 4.2.1.5.16

Поскольку остаток равен $0$ , окончательным ответом является частное.

$2 x^{2} + 1485 x + 7425$

Этап 4.2.1.6

Запишем $2 x^{3} + 1475 x^{2} - 37125$ в виде набора множителей.

$0.04 ((x - 5) (2 x^{2} + 1485 x + 7425)) = 0$

Этап 4.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$0.04 (x - 5) (2 x^{2} + 1485 x + 7425) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 5 = 0$

$2 x^{2} + 1485 x + 7425 = 0$

Этап 6

Приравняем $x - 5$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $x - 5$ к $0$ .

$x - 5 = 0$

Этап 6.2

Добавим $5$ к обеим частям уравнения.

$x = 5$

Этап 7

Приравняем $2 x^{2} + 1485 x + 7425$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x^{2} + 1485 x + 7425$ к $0$ .

$2 x^{2} + 1485 x + 7425 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x^{2} + 1485 x + 7425 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 7.2.2

Подставим значения $a = 2$ , $b = 1485$ и $c = 7425$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 1485 \pm \sqrt{1485^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 7425)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.1

Возведем $1485$ в степень $2$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{2205225 - 4 \cdot 2 \cdot 7425}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.2

Умножим $- 4 \cdot 2 \cdot 7425$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.2.1

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{2205225 - 8 \cdot 7425}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.2.2

Умножим $- 8$ на $7425$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{2205225 - 59400}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.3

Вычтем $59400$ из $2205225$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{2145825}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.4

Перепишем $2145825$ в виде $255^{2} \cdot 33$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.3.1.4.1

Вынесем множитель $65025$ из $2145825$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{65025 (33)}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.4.2

Перепишем $65025$ в виде $255^{2}$ .

$x = \frac{- 1485 \pm \sqrt{255^{2} \cdot 33}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 1485 \pm 255 \sqrt{33}}{2 \cdot 2}$

Этап 7.2.3.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{- 1485 \pm 255 \sqrt{33}}{4}$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = - \frac{1485 - 255 \sqrt{33}}{4}, - \frac{1485 + 255 \sqrt{33}}{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $0.04 (x - 5) (2 x^{2} + 1485 x + 7425) = 0$ верно.

$x = 5, - \frac{1485 - 255 \sqrt{33}}{4}, - \frac{1485 + 255 \sqrt{33}}{4}$

Этап 9

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = 5, - \frac{1485 - 255 \sqrt{33}}{4}, - \frac{1485 + 255 \sqrt{33}}{4}$

Десятичная форма:

$x = 5, - 5.03413128 \dots, - 737.46586871 \dots$