Математический анализ Примеры

$f (x) = 11 - 3 x^{2}$ , $[0, 1]$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$11 - 3 x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $11 - 3 x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $11$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} = - 11$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 11$ на $- 3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- 3 x^{2} = - 11$ на $- 3$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 x^{2}}{- 3} = \frac{- 11}{- 3}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 11}{- 3}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$x^{2} = \frac{11}{3}$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{11}{3}}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{\frac{11}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $\sqrt{\frac{11}{3}}$ в виде $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.4.2

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Этап 1.2.4.3

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.1

Умножим $\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$ на $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.4.3.2

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Этап 1.2.4.3.3

Возведем $\sqrt{3}$ в степень $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Этап 1.2.4.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Этап 1.2.4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 1.2.4.3.6

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 1.2.4.3.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 1.2.4.3.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.3.6.4.1

Сократим общий множитель.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Этап 1.2.4.3.6.4.2

Перепишем это выражение.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Этап 1.2.4.3.6.5

Найдем экспоненту.

$x = \pm \frac{\sqrt{11} \sqrt{3}}{3}$

Этап 1.2.4.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.4.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$x = \pm \frac{\sqrt{11 \cdot 3}}{3}$

Этап 1.2.4.4.2

Умножим $11$ на $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{33}}{3}$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \frac{\sqrt{33}}{3}, - \frac{\sqrt{33}}{3}$

Этап 1.3

Подставим $\frac{\sqrt{33}}{3}$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(\frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

$(- \frac{\sqrt{33}}{3}, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $11$ и $- 3 x^{2}$ .

$y = - 3 x^{2} + 11$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $0$ и $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- 3 x^{2} + 11$ .

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} + 11 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{0}^{1} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$- 3 \int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 11 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + \int_{0}^{1} 11 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{1}) + 11 x]_{0}^{1}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $1$ и в $0$ .

$- 3 ((\frac{1^{3}}{3}) - \frac{0^{3}}{3}) + 11 x]_{0}^{1}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $11 x$ в $1$ и в $0$ .

$- 3 (\frac{1^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.3

Сократим общий множитель $0$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.1

Вынесем множитель $3$ из $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$- 3 (\frac{1}{3} - \frac{0}{1}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.3.2.4

Разделим $0$ на $1$ .

$- 3 (\frac{1}{3} - 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.4

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3} + 0) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.5

Добавим $\frac{1}{3}$ и $0$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.6

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.7

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.7.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.7.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.7.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.7.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{1} + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1 + 11 \cdot 1 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.8

Умножим $11$ на $1$ .

$- 1 + 11 - 11 \cdot 0$

Этап 4.8.3.9

Умножим $- 11$ на $0$ .

$- 1 + 11 + 0$

Этап 4.8.3.10

Добавим $11$ и $0$ .

$- 1 + 11$

Этап 4.8.3.11

Добавим $- 1$ и $11$ .

$10$

Этап 5