Математический анализ Примеры

$y = 81 - x^{2}$ , $(- 9, 9)$

Этап 1

Решим, воспользовавшись подстановкой, чтобы найти пересечение кривых.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Исключим равные части каждого уравнения и объединим.

$81 - x^{2} = 0$

Этап 1.2

Решим $81 - x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $81$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 81$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 81$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 81$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 81}{- 1}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 81}{- 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 81}{- 1}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Разделим $- 81$ на $- 1$ .

$x^{2} = 81$

Этап 1.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{81}$

Этап 1.2.4

Упростим $\pm \sqrt{81}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Перепишем $81$ в виде $9^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{9^{2}}$

Этап 1.2.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 9$

Этап 1.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 9$

Этап 1.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 9$

Этап 1.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 9, - 9$

Этап 1.3

Подставим $9$ вместо $x$ .

$y = 0$

Этап 1.4

Решение данной системы — полный набор упорядоченных пар, представляющих собой допустимые решения.

$(9, 0)$

$(- 9, 0)$

$(9, 0)$

$(- 9, 0)$

Этап 2

Изменим порядок $81$ и $- x^{2}$ .

$y = - x^{2} + 81$

Этап 3

Площадь области между кривыми определяется как интеграл верхней кривой минус интеграл нижней кривой по каждой области. Области определяются точками пересечения кривых. Это можно сделать алгебраически или графически.

$A r e a = \int_{- 9}^{9} - x^{2} + 81 d x - \int_{- 9}^{9} 0 d x$

Этап 4

Проинтегрируем, чтобы найти площадь между $- 9$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим интегралы в один интеграл.

$\int_{- 9}^{9} - x^{2} + 81 - (0) d x$

Этап 4.2

Вычтем $0$ из $- x^{2} + 81$ .

$\int_{- 9}^{9} - x^{2} + 81 d x$

Этап 4.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int_{- 9}^{9} - x^{2} d x + \int_{- 9}^{9} 81 d x$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int_{- 9}^{9} x^{2} d x + \int_{- 9}^{9} 81 d x$

Этап 4.5

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 9}^{9}) + \int_{- 9}^{9} 81 d x$

Этап 4.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 9}^{9}) + \int_{- 9}^{9} 81 d x$

Этап 4.7

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- (\frac{x^{3}}{3}]_{- 9}^{9}) + 81 x]_{- 9}^{9}$

Этап 4.8

Подставим и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.1

Найдем значение $\frac{x^{3}}{3}$ в $9$ и в $- 9$ .

$- ((\frac{9^{3}}{3}) - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 x]_{- 9}^{9}$

Этап 4.8.2

Найдем значение $81 x$ в $9$ и в $- 9$ .

$- (\frac{9^{3}}{3} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.1

Возведем $9$ в степень $3$ .

$- (\frac{729}{3} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.2

Сократим общий множитель $729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $729$ .

$- (\frac{3 \cdot 243}{3} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (\frac{3 \cdot 243}{3 (1)} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- (\frac{3 \cdot 243}{3 \cdot 1} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- (\frac{243}{1} - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.2.2.4

Разделим $243$ на $1$ .

$- (243 - \frac{{(- 9)}^{3}}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.3

Возведем $- 9$ в степень $3$ .

$- (243 - \frac{- 729}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.4

Сократим общий множитель $- 729$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- 729$ .

$- (243 - \frac{3 \cdot - 243}{3}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.8.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$- (243 - \frac{3 \cdot - 243}{3 (1)}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$- (243 - \frac{3 \cdot - 243}{3 \cdot 1}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$- (243 - \frac{- 243}{1}) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.4.2.4

Разделим $- 243$ на $1$ .

$- (243 - - 243) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.5

Умножим $- 1$ на $- 243$ .

$- (243 + 243) + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.6

Добавим $243$ и $243$ .

$- 1 \cdot 486 + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.7

Умножим $- 1$ на $486$ .

$- 486 + 81 \cdot 9 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.8

Умножим $81$ на $9$ .

$- 486 + 729 - 81 \cdot - 9$

Этап 4.8.3.9

Умножим $- 81$ на $- 9$ .

$- 486 + 729 + 729$

Этап 4.8.3.10

Добавим $729$ и $729$ .

$- 486 + 1458$

Этап 4.8.3.11

Добавим $- 486$ и $1458$ .

$972$

Этап 5