Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ , $(4, 140)$

Этап 1

Найдем производную функции. Чтобы найти угловой коэффициент касательной к данной кривой, вычислим производную при искомом значении $x$ .

$\frac{d}{d x} (4 x^{3} - 7 x^{2} - 4)$

Этап 2

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 7 x^{2} - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 3.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x^{2}$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 7 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} - 7 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 4.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$12 x^{2} - 14 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} - 14 x + 0$

Этап 5.2

Добавим $12 x^{2} - 14 x$ и $0$ .

$12 x^{2} - 14 x$

Этап 6

Производную уравнения по $y$ также можно представить как $f' (x)$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 14 x$

Этап 7

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 12 {(4)}^{2} - 14 \cdot 4$

Этап 8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 12 \cdot 16 - 14 \cdot 4$

Этап 8.2

Умножим $12$ на $16$ .

$f' (4) = 192 - 14 \cdot 4$

Этап 8.3

Умножим $- 14$ на $4$ .

$f' (4) = 192 - 56$

Этап 9

Вычтем $56$ из $192$ .

$f' (4) = 136$

Этап 10

Производная при $(4, 140)$ : $136$ .

$136$