Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{4 x + 1}{5 \cos (\frac{x}{2}) + 1}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$5 \cos (\frac{x}{2}) + 1 = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ на $5$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $5 \cos (\frac{x}{2}) = - 1$ на $5$ .

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \cos (\frac{x}{2})}{5} = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.2.2.1.2

Разделим $\cos (\frac{x}{2})$ на $1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = \frac{- 1}{5}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{1}{5}$

Этап 2.3

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{1}{5})$

Этап 2.4

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Найдем значение $\arccos (- \frac{1}{5})$ .

$\frac{x}{2} = 1.77215424$

Этап 2.5

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Этап 2.6

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 \cdot 1.77215424$

Этап 2.6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 \cdot 1.77215424$

Этап 2.6.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим $2$ на $1.77215424$ .

$x = 3.54430849$

Этап 2.7

Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$\frac{x}{2} = 2 (3.14159265) - 1.77215424$

Этап 2.8

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Этап 2.8.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Этап 2.8.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$x = 2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$

Этап 2.8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1

Упростим $2 (2 (3.14159265) - 1.77215424)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.2.2.1.1

Умножим $2$ на $3.14159265$ .

$x = 2 (6.2831853 - 1.77215424)$

Этап 2.8.2.2.1.2

Вычтем $1.77215424$ из $6.2831853$ .

$x = 2 \cdot 4.51103105$

Этап 2.8.2.2.1.3

Умножим $2$ на $4.51103105$ .

$x = 9.02206211$

Этап 2.9

Найдем период $\cos (\frac{x}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Этап 2.9.2

Заменим $b$ на $\frac{1}{2}$ в формуле периода.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Этап 2.9.3

$\frac{1}{2}$ приблизительно равно $0.5$ . Это положительное число, поэтому вычтем абсолютное значение.

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Этап 2.9.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$2 π \cdot 2$

Этап 2.9.5

Умножим $2$ на $2$ .

$4 π$

Этап 2.10

Период функции $\cos (\frac{x}{2})$ равен $4 π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $4 π$ рад. в обоих направлениях.

$x = 3.54430849 + 4 π n, 9.02206211 + 4 π n$ , для любого целого $n$

Этап 3

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = 3.54430849 + 4 π n, x = 9.02206211 + 4 π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 4