Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{\ln (\ln (x))}$

Этап 1

Зададим знаменатель в $\frac{1}{\ln (\ln (x))}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\ln (\ln (x)) = 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\ln (x))} = e^{0}$

Этап 2.2

Перепишем $\ln (\ln (x)) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \ln (x)$

Этап 2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем уравнение в виде $\ln (x) = e^{0}$ .

$\ln (x) = e^{0}$

Этап 2.3.2

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{e^{0}}$

Этап 2.3.3

Перепишем $\ln (x) = e^{0}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{e^{0}} = x$

Этап 2.3.4

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{e^{0}}$ .

$x = e^{e^{0}}$

Этап 2.3.4.2

Упростим $e^{e^{0}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = e^{1}$

Этап 2.3.4.2.2

Упростим.

$x = e$

Этап 3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 4

Зададим аргумент в $\ln (\ln (x))$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\ln (x) \leq 0$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Преобразуем неравенство в равенство.

$\ln (x) = 0$

Этап 5.2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{0}$

Этап 5.2.2

Перепишем $\ln (x) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = x$

Этап 5.2.3

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Перепишем уравнение в виде $x = e^{0}$ .

$x = e^{0}$

Этап 5.2.3.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$x = 1$

Этап 5.3

Найдем область определения $\ln (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$x > 0$

Этап 5.3.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(0, \infty)$

Этап 5.4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Этап 5.5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Проверим значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Выберем значение на интервале $x < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 2$

Этап 5.5.1.2

Заменим $x$ на $- 2$ в исходном неравенстве.

$\ln (- 2) \leq 0$

Этап 5.5.1.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.5.1.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5.2

Проверим значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Выберем значение на интервале $0 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0.5$

Этап 5.5.2.2

Заменим $x$ на $0.5$ в исходном неравенстве.

$\ln (0.5) \leq 0$

Этап 5.5.2.3

Левая часть $- 0.69314718$ меньше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

Истина

Этап 5.5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\ln (4) \leq 0$

Этап 5.5.3.3

Левая часть $1.38629436$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 5.5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < 0$ Ложь

$0 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 5.6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$0 < x \leq 1$

Этап 6

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 1, x = e$

$(- \infty, 1] \cup [e, e]$

Этап 7