Математический анализ Примеры

$y = \ln (\tan^{2} (x))$

Этап 1

Зададим аргумент в $\ln (\tan^{2} (x))$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$\tan^{2} (x) \leq 0$

Этап 2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей неравенства, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$\sqrt{\tan^{2} (x)} \leq \sqrt{0}$

Этап 2.2

Упростим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем члены из-под знака корня.

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0}$

Этап 2.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим $\sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$| \tan (x) | \leq \sqrt{0^{2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$| \tan (x) | \leq | 0 |$

Этап 2.2.2.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $0$ равно $0$ .

$| \tan (x) | \leq 0$

Этап 2.3

Запишем $| \tan (x) | \leq 0$ в виде кусочной функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы определить интервал для первого куска, найдем, на каком участке абсолютное значение неотрицательно.

$\tan (x) \geq 0$

Этап 2.3.2

В части, где $\tan (x)$ принимает неотрицательные значения, исключим абсолютное значение.

$\tan (x) \leq 0$

Этап 2.3.3

Чтобы определить интервал для второго куска, найдем, на каком участке абсолютное значение отрицательно.

$\tan (x) < 0$

Этап 2.3.4

В части, где $\tan (x)$ принимает отрицательные значения, исключим абсолютное значение и умножим на $- 1$ .

$- \tan (x) \leq 0$

Этап 2.3.5

Запишем в виде кусочной функции.

${\begin{cases} \tan (x) \leq 0 & \tan (x) \geq 0 \\ - \tan (x) \leq 0 & \tan (x) < 0 \end{cases}$

Этап 2.4

Найдем пересечение $\tan (x) \leq 0$ и $\tan (x) \geq 0$ .

$\tan (x) = 0$

Этап 2.5

Решим $- \tan (x) \leq 0$ , когда $\tan (x) < 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим каждый член $- \tan (x) \leq 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Разделим каждый член $- \tan (x) \leq 0$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- \tan (x)}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.1.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) \geq \frac{0}{- 1}$

Этап 2.5.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\tan (x) \geq 0$

Этап 2.5.2

Найдем пересечение $\tan (x) \geq 0$ и $\tan (x) < 0$ .

Нет решения

Этап 2.6

Найдем объединение решений.

$\tan (x) = 0$

Этап 2.7

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (0)$

Этап 2.8

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$x = 0$

Этап 2.9

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + 0$

Этап 2.10

Добавим $π$ и $0$ .

$x = π$

Этап 2.11

Найдем период $\tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Период функции можно вычислить по формуле $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Этап 2.11.2

Заменим $b$ на $1$ в формуле периода.

$\frac{π}{| 1 |}$

Этап 2.11.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$\frac{π}{1}$

Этап 2.11.4

Разделим $π$ на $1$ .

$π$

Этап 2.12

Период функции $\tan (x)$ равен $π$ . Поэтому значения повторяются через каждые $π$ рад. в обоих направлениях.

$x = π n, π + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.13

Объединим ответы.

$x = π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.14

Найдем область определения $\tan^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.14.1

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 2.14.2

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 2.15

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$0 < x < \frac{π}{2}$

$\frac{π}{2} < x < π$

Этап 2.16

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1

Проверим значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.1.1

Выберем значение на интервале $0 < x < \frac{π}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 2.16.1.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$\tan^{2} (1) \leq 0$

Этап 2.16.1.3

Левая часть $2.42551882$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.16.2

Проверим значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.16.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{π}{2} < x < π$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 2.16.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$\tan^{2} (2) \leq 0$

Этап 2.16.2.3

Левая часть $4.7743992$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

Ложь

Этап 2.16.3

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

$0 < x < \frac{π}{2}$ Ложь

$\frac{π}{2} < x < π$ Ложь

Этап 2.17

Поскольку попадающие в этот интервал числа отсутствуют, это неравенство не имеет решения.

Нет решения

Этап 3

Зададим аргумент в $\tan (x)$ равным $\frac{π}{2} + π n$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , для любого целого $n$

Этап 4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

${x | x = \frac{π}{2} + π n}$ $n$ , для любого целого числа $n$

Этап 5