Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 5 x^{2} + 4$ , $x = 1$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 1^{4} - 5 \cdot 1^{2} + 4$

Этап 1.2.3

Избавимся от скобок.

$y = {(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$

Этап 1.2.4

Упростим ${(1)}^{4} - 5 {(1)}^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 5 {(1)}^{2} + 4$

Этап 1.2.4.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - 5 \cdot 1 + 4$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $- 5$ на $1$ .

$y = 1 - 5 + 4$

Этап 1.2.4.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Вычтем $5$ из $1$ .

$y = - 4 + 4$

Этап 1.2.4.2.2

Добавим $- 4$ и $4$ .

$y = 0$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 5 x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{2}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 5 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$4 x^{3} - 10 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 10 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 10 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 10 x$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$4 {(1)}^{3} - 10 \cdot 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$4 \cdot 1 - 10 \cdot 1$

Этап 2.5.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 - 10 \cdot 1$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 10$ на $1$ .

$4 - 10$

Этап 2.5.2

Вычтем $10$ из $4$ .

$- 6$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 6$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 6 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = - 6 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = - 6 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим $- 6 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - 6 x - 6 \cdot - 1$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$y = - 6 x + 6$

Этап 4