Математический анализ Примеры

$f (x) = \tan (2 x)$ , $x = \frac{π}{6}$

Этап 1

Найдем значение $y$ при $x = \frac{π}{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{π}{6}$ вместо $x$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Умножим $2$ на $\frac{π}{6}$ .

$y = \tan (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 1.2.2

Упростим $\tan (2 (\frac{π}{6}))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y = \tan (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 1.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y = \tan (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 1.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y = \tan (\frac{π}{3})$

Этап 1.2.2.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$y = \sqrt{3}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{π}{6}$ и $y = \sqrt{3}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \tan (x)$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.2

Производная $\tan (u)$ по $u$ равна $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$\sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\sec^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

Этап 2.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$\sec^{2} (2 x) \cdot 2$

Этап 2.2.3.2

Перенесем $2$ влево от $\sec^{2} (2 x)$ .

$2 \sec^{2} (2 x)$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = \frac{π}{6}$ .

$2 \sec^{2} (2 (\frac{π}{6}))$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 (3)})$

Этап 2.4.1.2

Сократим общий множитель.

$2 \sec^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Этап 2.4.1.3

Перепишем это выражение.

$2 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Этап 2.4.2

Точное значение $\sec (\frac{π}{3})$ : $2$ .

$2 \cdot 2^{2}$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $2^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $2$ на $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$2^{1} \cdot 2^{2}$

Этап 2.4.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2^{1 + 2}$

Этап 2.4.3.2

Добавим $1$ и $2$ .

$2^{3}$

Этап 2.4.4

Возведем $2$ в степень $3$ .

$8$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $8$ и координаты заданной точки $(\frac{π}{6}, \sqrt{3})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\sqrt{3}) = 8 \cdot (x - (\frac{π}{6}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $8 \cdot (x - \frac{π}{6})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \sqrt{3} = 0 + 0 + 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \sqrt{3} = 8 \cdot (x - \frac{π}{6})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 (- \frac{π}{6})$

Этап 3.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{π}{6}$ в числитель.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 8 \frac{- π}{6}$

Этап 3.3.1.4.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 (4) \frac{- π}{6}$

Этап 3.3.1.4.3

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.4.4

Сократим общий множитель.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 2 \cdot 4 \frac{- π}{2 \cdot 3}$

Этап 3.3.1.4.5

Перепишем это выражение.

$y - \sqrt{3} = 8 x + 4 \frac{- π}{3}$

Этап 3.3.1.5

Объединим $4$ и $\frac{- π}{3}$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{4 (- π)}{3}$

Этап 3.3.1.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.6.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y - \sqrt{3} = 8 x + \frac{- 4 π}{3}$

Этап 3.3.1.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \sqrt{3} = 8 x - \frac{4 π}{3}$

Этап 3.3.2

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям уравнения.

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3}$

Этап 3.3.3

Запишем в форме $y = m x + b$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Чтобы записать $\sqrt{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.3.3.2

Объединим $\sqrt{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$y = 8 x - \frac{4 π}{3} + \frac{\sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 8 x + \frac{- 4 π + \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Этап 3.3.3.4

Перенесем $3$ влево от $\sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- 4 π + 3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 π$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) + 3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 3.3.3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $3 \sqrt{3}$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})}{3}$

Этап 3.3.3.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 π) - (- 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Этап 3.3.3.8

Перепишем $- (4 π - 3 \sqrt{3})$ в виде $- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})$ .

$y = 8 x + \frac{- 1 (4 π - 3 \sqrt{3})}{3}$

Этап 3.3.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 8 x - \frac{4 π - 3 \sqrt{3}}{3}$

Этап 4