Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$ , $x = \frac{1}{11}$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{1}{11}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $\frac{1}{11}$ вместо $x$ .

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Этап 1.2.2

Упростим $\frac{\frac{1}{11}}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 11 (\frac{1}{11})}$

Этап 1.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Вынесем множитель $11$ из $- 11$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 (- 1) \frac{1}{11}}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 + 11 \cdot - 1 \frac{1}{11}}$

Этап 1.2.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{2 - 1}$

Этап 1.2.2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 1.2.2.3

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{1}{11} \cdot \frac{1}{1}$

Этап 1.2.2.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{1}{11} \cdot 1$

Этап 1.2.2.3.2

Умножим $\frac{1}{11}$ на $1$ .

$y = \frac{1}{11}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = \frac{1}{11}$ и $y = \frac{1}{11}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Умножим $2 - 11 x$ на $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.3

По правилу суммы производная $2 - 11 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $- 11$ является константой относительно $x$ , производная $- 11 x$ по $x$ равна $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.7

Умножим $- 11$ на $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим $11$ на $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.9.2

Добавим $- 11 x$ и $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.9.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.3.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Этап 2.2.9.3.2

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Этап 2.3

Найдем производную в $x = \frac{1}{11}$ .

$\frac{2}{{(- 11 (\frac{1}{11}) + 2)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Сократим общий множитель $11$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1.1

Вынесем множитель $11$ из $- 11$ .

$\frac{2}{{(11 (- 1) \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Этап 2.4.1.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{{(11 \cdot - 1 \frac{1}{11} + 2)}^{2}}$

Этап 2.4.1.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{{(- 1 + 2)}^{2}}$

Этап 2.4.1.2

Добавим $- 1$ и $2$ .

$\frac{2}{1^{2}}$

Этап 2.4.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{1}$

Этап 2.4.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $2$ и координаты заданной точки $(\frac{1}{11}, \frac{1}{11})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{11}) = 2 \cdot (x - (\frac{1}{11}))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $2 \cdot (x - \frac{1}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{1}{11} = 0 + 0 + 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{1}{11} = 2 \cdot (x - \frac{1}{11})$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{1}{11} = 2 x + 2 (- \frac{1}{11})$

Этап 3.3.1.4

Умножим $2 (- \frac{1}{11})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x - 2 (\frac{1}{11})$

Этап 3.3.1.4.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{11}$ .

$y - \frac{1}{11} = 2 x + \frac{- 2}{11}$

Этап 3.3.1.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{1}{11} = 2 x - \frac{2}{11}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{1}{11}$ к обеим частям уравнения.

$y = 2 x - \frac{2}{11} + \frac{1}{11}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = 2 x + \frac{- 2 + 1}{11}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$y = 2 x + \frac{- 1}{11}$

Этап 3.3.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = 2 x - \frac{1}{11}$

Этап 4