Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{2} + x$ , $x = - 4$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 4$ вместо $x$ .

$y = 5 {(- 4)}^{2} - 4$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 5 {(- 4)}^{2} - 4$

Этап 1.2.2

Упростим $5 {(- 4)}^{2} - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$y = 5 \cdot 16 - 4$

Этап 1.2.2.1.2

Умножим $5$ на $16$ .

$y = 80 - 4$

Этап 1.2.2.2

Вычтем $4$ из $80$ .

$y = 76$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 4$ и $y = 76$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$5 (2 x) + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $5$ .

$10 x + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$10 x + 1$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = - 4$ .

$10 (- 4) + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $10$ на $- 4$ .

$- 40 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $- 40$ и $1$ .

$- 39$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $- 39$ и координаты заданной точки $(- 4, 76)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (76) = - 39 \cdot (x - (- 4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 76 = - 39 \cdot (x + 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $- 39 \cdot (x + 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 76 = 0 + 0 - 39 \cdot (x + 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 76 = - 39 \cdot (x + 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 76 = - 39 x - 39 \cdot 4$

Этап 3.3.1.4

Умножим $- 39$ на $4$ .

$y - 76 = - 39 x - 156$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $76$ к обеим частям уравнения.

$y = - 39 x - 156 + 76$

Этап 3.3.2.2

Добавим $- 156$ и $76$ .

$y = - 39 x - 80$

Этап 4