Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 18 x^{2} + 81$ , $x = - 2$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $- 2$ вместо $x$ .

$y = {(- 2)}^{4} - 18 {(- 2)}^{2} + 81$

Этап 1.2

Упростим ${(- 2)}^{4} - 18 {(- 2)}^{2} + 81$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$y = 16 - 18 {(- 2)}^{2} + 81$

Этап 1.2.1.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$y = 16 - 18 \cdot 4 + 81$

Этап 1.2.1.3

Умножим $- 18$ на $4$ .

$y = 16 - 72 + 81$

Этап 1.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вычтем $72$ из $16$ .

$y = - 56 + 81$

Этап 1.2.2.2

Добавим $- 56$ и $81$ .

$y = 25$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = - 2$ и $y = 25$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 18 x^{2} + 81$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 18 x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x^{2}$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 18 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 18 (2 x) + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $- 18$ .

$4 x^{3} - 36 x + \frac{d}{d x} [81]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $81$ является константой относительно $x$ , производная $81$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 36 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $4 x^{3} - 36 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = - 2$ .

$4 {(- 2)}^{3} - 36 \cdot - 2$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$4 \cdot - 8 - 36 \cdot - 2$

Этап 2.5.1.2

Умножим $4$ на $- 8$ .

$- 32 - 36 \cdot - 2$

Этап 2.5.1.3

Умножим $- 36$ на $- 2$ .

$- 32 + 72$

Этап 2.5.2

Добавим $- 32$ и $72$ .

$40$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $40$ и координаты заданной точки $(- 2, 25)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (25) = 40 \cdot (x - (- 2))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - 25 = 40 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $40 \cdot (x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - 25 = 0 + 0 + 40 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - 25 = 40 \cdot (x + 2)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - 25 = 40 x + 40 \cdot 2$

Этап 3.3.1.4

Умножим $40$ на $2$ .

$y - 25 = 40 x + 80$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $25$ к обеим частям уравнения.

$y = 40 x + 80 + 25$

Этап 3.3.2.2

Добавим $80$ и $25$ .

$y = 40 x + 105$

Этап 4