Математический анализ Примеры

$f (x) = x - \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 1$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 1 - \frac{1}{1^{2}}$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = (1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Этап 1.2.3

Упростим $(1) - \frac{1}{{(1)}^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Этап 1.2.3.1.2

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y = 1 - \frac{1}{1}$

Этап 1.2.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y = 1 - 1 \cdot 1$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$y = 1 - 1$

Этап 1.2.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$y = 0$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = 0$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x - \frac{1}{x^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.2

Перепишем $\frac{1}{x^{2}}$ в виде ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2}$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$1 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.6

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1 - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.6.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$1 - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.7

Умножим $2$ на $- 1$ .

$1 - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.8

Возведем $x$ в степень $1$ .

$1 - (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.10

Вычтем $4$ из $1$ .

$1 - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.11

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

Этап 2.2.12

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $0$ .

$1 + 2 x^{- 3} + 0$

Этап 2.2.13

Добавим $2 x^{- 3}$ и $0$ .

$1 + 2 x^{- 3}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + 2 \frac{1}{x^{3}}$

Этап 2.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$1 + \frac{2}{x^{3}}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок членов.

$\frac{2}{x^{3}} + 1$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{2}{{(1)}^{3}} + 1$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{2}{1} + 1$

Этап 2.5.1.2

Разделим $2$ на $1$ .

$2 + 1$

Этап 2.5.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $3$ и координаты заданной точки $(1, 0)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 3 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 0 = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Добавим $y$ и $0$ .

$y = 3 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.2

Упростим $3 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = 3 x + 3 \cdot - 1$

Этап 3.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y = 3 x - 3$

Этап 4