Математический анализ Примеры

$f (x) = 0.5 x^{2} - 2 x - 4$ , $x = 3$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $3$ вместо $x$ .

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 0.5 \cdot 3^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 1.2.2

Избавимся от скобок.

$y = 0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 1.2.3

Упростим $0.5 {(3)}^{2} - 2 \cdot 3 - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = 0.5 \cdot 9 - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 1.2.3.1.2

Умножим $0.5$ на $9$ .

$y = 4.5 - 2 \cdot 3 - 4$

Этап 1.2.3.1.3

Умножим $- 2$ на $3$ .

$y = 4.5 - 6 - 4$

Этап 1.2.3.2

Упростим путем вычитания чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.2.1

Вычтем $6$ из $4.5$ .

$y = - 1.5 - 4$

Этап 1.2.3.2.2

Вычтем $4$ из $- 1.5$ .

$y = - 5.5$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 3$ и $y = - 5.5$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $0.5 x^{2} - 2 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $0.5$ является константой относительно $x$ , производная $0.5 x^{2}$ по $x$ равна $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.2.4

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.3.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$x - 2 + \frac{d}{d x} [- 4]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x - 2 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $x - 2$ и $0$ .

$x - 2$

Этап 2.5

Найдем производную в $x = 3$ .

$(3) - 2$

Этап 2.6

Вычтем $2$ из $3$ .

$1$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $1$ и координаты заданной точки $(3, - 5.5)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5.5) = 1 \cdot (x - (3))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 5.5 = 1 \cdot (x - 3)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $x - 3$ на $1$ .

$y + 5.5 = x - 3$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $5.5$ из обеих частей уравнения.

$y = x - 3 - 5.5$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $5.5$ из $- 3$ .

$y = x - 8.5$

Этап 4