Математический анализ Примеры

$f (x) = 2 x + \frac{5}{x}$ , $x = 4$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = 2 (4) + \frac{5}{4}$

Этап 1.2.2

Упростим $2 (4) + \frac{5}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = 8 + \frac{5}{4}$

Этап 1.2.2.2

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = 8 \cdot \frac{4}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 1.2.2.3

Объединим $8$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{8 \cdot 4}{4} + \frac{5}{4}$

Этап 1.2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{8 \cdot 4 + 5}{4}$

Этап 1.2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.5.1

Умножим $8$ на $4$ .

$y = \frac{32 + 5}{4}$

Этап 1.2.2.5.2

Добавим $32$ и $5$ .

$y = \frac{37}{4}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{37}{4}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 x + \frac{5}{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{5}{x}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{5}{x}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Этап 2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x}$ в виде $x^{- 1}$ .

$2 + 5 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$2 + 5 (- x^{- 2})$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$2 - 5 x^{- 2}$

Этап 2.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 - 5 \frac{1}{x^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{- 5}{x^{2}}$

Этап 2.5.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2 - \frac{5}{x^{2}}$

Этап 2.5.2

Изменим порядок членов.

$- \frac{5}{x^{2}} + 2$

Этап 2.6

Найдем производную в $x = 4$ .

$- \frac{5}{{(4)}^{2}} + 2$

Этап 2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{5}{16} + 2$

Этап 2.7.2

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + 2 \cdot \frac{16}{16}$

Этап 2.7.3

Объединим $2$ и $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{5}{16} + \frac{2 \cdot 16}{16}$

Этап 2.7.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 5 + 2 \cdot 16}{16}$

Этап 2.7.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.5.1

Умножим $2$ на $16$ .

$\frac{- 5 + 32}{16}$

Этап 2.7.5.2

Добавим $- 5$ и $32$ .

$\frac{27}{16}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{27}{16}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{37}{4})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{37}{4}) = \frac{27}{16} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{27}{16} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{37}{4} = 0 + 0 + \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27}{16} x + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{27}{16}$ и $x$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{16} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $16$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 (4)} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4 \cdot 4} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27}{4} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Объединим $\frac{27}{4}$ и $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Этап 3.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $27$ на $- 1$ .

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27}{4}$

Этап 3.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{37}{4} = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{37}{4}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{27 x}{16} - \frac{27}{4} + \frac{37}{4}$

Этап 3.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{- 27 + 37}{4}$

Этап 3.3.2.3

Добавим $- 27$ и $37$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{10}{4}$

Этап 3.3.2.4

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.1

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 (5)}{4}$

Этап 3.3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Этап 3.3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{27 x}{16} + \frac{5}{2}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{27}{16} x + \frac{5}{2}$

Этап 4