Математический анализ Примеры

$g (x) = \frac{2 x - 3}{7 x + 4}$ , $x = 4$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $4$ вместо $x$ .

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$

Этап 1.2.2

Упростим $\frac{2 (4) - 3}{7 (4) + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $2$ на $4$ .

$y = \frac{8 - 3}{7 (4) + 4}$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $3$ из $8$ .

$y = \frac{5}{7 (4) + 4}$

Этап 1.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Умножим $7$ на $4$ .

$y = \frac{5}{28 + 4}$

Этап 1.2.2.2.2

Добавим $28$ и $4$ .

$y = \frac{5}{32}$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 4$ и $y = \frac{5}{32}$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 2 x - 3$ и $g (x) = 7 x + 4$ .

$\frac{(7 x + 4) \frac{d}{d x} [2 x - 3] - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $2 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(7 x + 4) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(7 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{(7 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $2$ влево от $7 x + 4$ .

$\frac{2 \cdot (7 x + 4) - (2 x - 3) \frac{d}{d x} [7 x + 4]}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $7 x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Умножим $7$ на $1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + \frac{d}{d x} [4])}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.11

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) (7 + 0)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Добавим $7$ и $0$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - (2 x - 3) \cdot 7}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.2.12.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\frac{2 (7 x + 4) - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x - 3)}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (7 x) + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $7$ на $2$ .

$\frac{14 x + 2 \cdot 4 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $2$ на $4$ .

$\frac{14 x + 8 - 7 (2 x) - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $2$ на $- 7$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x - 7 \cdot - 3}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 7$ на $- 3$ .

$\frac{14 x + 8 - 14 x + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Объединим противоположные члены в $14 x + 8 - 14 x + 21$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $14 x$ из $14 x$ .

$\frac{0 + 8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.2

Добавим $0$ и $8$ .

$\frac{8 + 21}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Добавим $8$ и $21$ .

$\frac{29}{{(7 x + 4)}^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 4$ .

$\frac{29}{{(7 (4) + 4)}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $7$ на $4$ .

$\frac{29}{{(28 + 4)}^{2}}$

Этап 2.5.2

Добавим $28$ и $4$ .

$\frac{29}{32^{2}}$

Этап 2.5.3

Возведем $32$ в степень $2$ .

$\frac{29}{1024}$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $\frac{29}{1024}$ и координаты заданной точки $(4, \frac{5}{32})$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{32}) = \frac{29}{1024} \cdot (x - (4))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $\frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y - \frac{5}{32} = 0 + 0 + \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} \cdot (x - 4)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29}{1024} x + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.4

Объединим $\frac{29}{1024}$ и $x$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{1024} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $1024$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 (256)} \cdot - 4$

Этап 3.3.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.3

Сократим общий множитель.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{4 \cdot 256} \cdot (4 \cdot - 1)$

Этап 3.3.1.5.4

Перепишем это выражение.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29}{256} \cdot - 1$

Этап 3.3.1.6

Объединим $\frac{29}{256}$ и $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{29 \cdot - 1}{256}$

Этап 3.3.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.7.1

Умножим $29$ на $- 1$ .

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29}{256}$

Этап 3.3.1.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y - \frac{5}{32} = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256}$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Добавим $\frac{5}{32}$ к обеим частям уравнения.

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32}$

Этап 3.3.2.2

Чтобы записать $\frac{5}{32}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5}{32} \cdot \frac{8}{8}$

Этап 3.3.2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $256$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Умножим $\frac{5}{32}$ на $\frac{8}{8}$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{32 \cdot 8}$

Этап 3.3.2.3.2

Умножим $32$ на $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} - \frac{29}{256} + \frac{5 \cdot 8}{256}$

Этап 3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 5 \cdot 8}{256}$

Этап 3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.5.1

Умножим $5$ на $8$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{- 29 + 40}{256}$

Этап 3.3.2.5.2

Добавим $- 29$ и $40$ .

$y = \frac{29 x}{1024} + \frac{11}{256}$

Этап 3.3.3

Изменим порядок членов.

$y = \frac{29}{1024} x + \frac{11}{256}$

Этап 4