Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{3 x - 4}{4 x - 3}$ , $x = 1$

Этап 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Подставим $1$ вместо $x$ .

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Этап 1.2

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Избавимся от скобок.

$y = \frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$

Этап 1.2.2

Упростим $\frac{3 (1) - 4}{4 (1) - 3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1.1

Умножим $3$ на $1$ .

$y = \frac{3 - 4}{4 (1) - 3}$

Этап 1.2.2.1.2

Вычтем $4$ из $3$ .

$y = \frac{- 1}{4 (1) - 3}$

Этап 1.2.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Умножим $4$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{4 - 3}$

Этап 1.2.2.2.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$y = \frac{- 1}{1}$

Этап 1.2.2.3

Разделим $- 1$ на $1$ .

$y = - 1$

Этап 2

Найдем первую производную и вычислим ее значения в точках $x = 1$ и $y = - 1$ , чтобы найти угловой коэффициент касательной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x - 4$ и $g (x) = 4 x - 3$ .

$\frac{(4 x - 3) \frac{d}{d x} [3 x - 4] - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $3 x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(4 x - 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.5

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(4 x - 3) (3 + 0) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{(4 x - 3) \cdot 3 - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.6.2

Перенесем $3$ влево от $4 x - 3$ .

$\frac{3 \cdot (4 x - 3) - (3 x - 4) \frac{d}{d x} [4 x - 3]}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.7

По правилу суммы производная $4 x - 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.8

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.10

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.11

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) (4 + 0)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.12.1

Добавим $4$ и $0$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - (3 x - 4) \cdot 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.2.12.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{3 (4 x - 3) - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x - 4)}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (4 x) + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $4$ на $3$ .

$\frac{12 x + 3 \cdot - 3 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $3$ на $- 3$ .

$\frac{12 x - 9 - 4 (3 x) - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $3$ на $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x - 4 \cdot - 4}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$\frac{12 x - 9 - 12 x + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Объединим противоположные члены в $12 x - 9 - 12 x + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Вычтем $12 x$ из $12 x$ .

$\frac{0 - 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2.2

Вычтем $9$ из $0$ .

$\frac{- 9 + 16}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.3.3.3

Добавим $- 9$ и $16$ .

$\frac{7}{{(4 x - 3)}^{2}}$

Этап 2.4

Найдем производную в $x = 1$ .

$\frac{7}{{(4 (1) - 3)}^{2}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{7}{{(4 - 3)}^{2}}$

Этап 2.5.1.2

Вычтем $3$ из $4$ .

$\frac{7}{1^{2}}$

Этап 2.5.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{7}{1}$

Этап 2.5.2

Разделим $7$ на $1$ .

$7$

Этап 3

Подставим угловой коэффициент и координаты точки в уравнение прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой и решим его относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Используем угловой коэффициент $7$ и координаты заданной точки $(1, - 1)$ вместо $x_{1}$ и $y_{1}$ в уравнении прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , выведенном из уравнения с угловым коэффициентом $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 7 \cdot (x - (1))$

Этап 3.2

Упростим уравнение и оставим его в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом и заданной точкой.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим $7 \cdot (x - 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перепишем.

$y + 1 = 0 + 0 + 7 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$y + 1 = 7 \cdot (x - 1)$

Этап 3.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y + 1 = 7 x + 7 \cdot - 1$

Этап 3.3.1.4

Умножим $7$ на $- 1$ .

$y + 1 = 7 x - 7$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$y = 7 x - 7 - 1$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $1$ из $- 7$ .

$y = 7 x - 8$

Этап 4