Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 2}^{24} 5 i^{2} + 8$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $i$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 2}^{24} 5 i^{2} + 8 = \sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 - \sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{24} 5 i^{2} + 8 = 5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2} + \sum_{k = 1}^{24} 8$

Этап 2.2

Найдем значение $5 \sum_{k = 1}^{24} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(5) (\frac{24 (24 + 1) (2 \cdot 24 + 1)}{6})$

Этап 2.2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Добавим $24$ и $1$ .

$5 \frac{24 \cdot 25 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.2.1

Умножим $24$ на $25$ .

$5 \frac{600 (2 \cdot 24 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $24$ .

$5 \frac{600 (48 + 1)}{6}$

Этап 2.2.3.1.3

Добавим $48$ и $1$ .

$5 \frac{600 \cdot 49}{6}$

Этап 2.2.3.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $600$ на $49$ .

$5 (\frac{29400}{6})$

Этап 2.2.3.2.2

Разделим $29400$ на $6$ .

$5 \cdot 4900$

Этап 2.2.3.2.3

Умножим $5$ на $4900$ .

$24500$

Этап 2.3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{24} 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.3.2

Подставим значения в формулу.

$(8) (24)$

Этап 2.3.3

Умножим $8$ на $24$ .

$192$

Этап 2.4

Сложим результаты суммирования.

$24500 + 192$

Этап 2.5

Добавим $24500$ и $192$ .

$24692$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{1} 5 i^{2} + 8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$5 \cdot 1^{2} + 8$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$5 \cdot 1 + 8$

Этап 3.2.2

Умножим $5$ на $1$ .

$5 + 8$

Этап 3.2.3

Добавим $5$ и $8$ .

$13$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$24692 - 13$

Этап 5

Вычтем $13$ из $24692$ .

$24679$