Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 4}^{7} 3^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{3^{i + 1}}{3^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $3^{i + 1}$ и $3^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3^{i}$ из $3^{i + 1}$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{3^{i} \cdot 3}{3^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{3}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $3$ на $1$ .

$r = 3$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $4$ вместо $i$ в $3^{i}$ .

$a = 3^{4}$

Этап 3.2

Возведем $3$ в степень $4$ .

$a = 81$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$81 \frac{1 - 3^{4}}{1 - 1 \cdot 3}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Возведем $3$ в степень $4$ .

$81 \frac{1 - 1 \cdot 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Этап 5.1.2

Умножим $- 1$ на $81$ .

$81 \frac{1 - 81}{1 - 1 \cdot 3}$

Этап 5.1.3

Вычтем $81$ из $1$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 1 \cdot 3}$

Этап 5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$81 \frac{- 80}{1 - 3}$

Этап 5.2.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$81 (\frac{- 80}{- 2})$

Этап 5.3

Разделим $- 80$ на $- 2$ .

$81 \cdot 40$

Этап 5.4

Умножим $81$ на $40$ .

$3240$