Математический анализ Примеры

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2}$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{1}^{8} 1 - \frac{11}{x} + x^{2} = \sum_{x = 1}^{8} 1 + \sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x} + \sum_{x = 1}^{8} x^{2}$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{8} 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 2.2

Подставим значения в формулу.

$(1) (8)$

Этап 2.3

Умножим $8$ на $1$ .

$8$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{8} - \frac{11}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем $- 1$ за символ суммирования.

$(- 1) \sum_{x = 1}^{8} \frac{11}{x}$

Этап 3.2

Развернем ряд для каждого значения $x$ .

$- \frac{11}{1} - \frac{11}{2} - \frac{11}{3} + \dots - \frac{11}{8}$

Этап 3.3

Упростим расширенную форму.

$- \frac{8371}{280}$

Этап 4

Найдем значение $\sum_{x = 1}^{8} x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 4.2

Подставим значения в формулу.

$\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Этап 4.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{6}$

Этап 4.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 (3)}$

Этап 4.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1))}{2 \cdot 3}$

Этап 4.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{4 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{3}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $2$ на $8$ .

$\frac{4 (8 + 1) (16 + 1)}{3}$

Этап 4.3.2.2

Добавим $8$ и $1$ .

$\frac{4 \cdot 9 (16 + 1)}{3}$

Этап 4.3.2.3

Умножим $4$ на $9$ .

$\frac{36 (16 + 1)}{3}$

Этап 4.3.2.4

Добавим $16$ и $1$ .

$\frac{36 \cdot 17}{3}$

Этап 4.3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $36$ на $17$ .

$\frac{612}{3}$

Этап 4.3.3.2

Разделим $612$ на $3$ .

$204$

Этап 5

Сложим результаты суммирования.

$8 - \frac{8371}{280} + 204$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Запишем $8$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{8371}{280} + 204$

Этап 6.1.2

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Этап 6.1.3

Умножим $\frac{8}{1}$ на $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + 204$

Этап 6.1.4

Запишем $204$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1}$

Этап 6.1.5

Умножим $\frac{204}{1}$ на $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204}{1} \cdot \frac{280}{280}$

Этап 6.1.6

Умножим $\frac{204}{1}$ на $\frac{280}{280}$ .

$\frac{8 \cdot 280}{280} - \frac{8371}{280} + \frac{204 \cdot 280}{280}$

Этап 6.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{8 \cdot 280 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Этап 6.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $8$ на $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 204 \cdot 280}{280}$

Этап 6.3.2

Умножим $204$ на $280$ .

$\frac{2240 - 8371 + 57120}{280}$

Этап 6.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $8371$ из $2240$ .

$\frac{- 6131 + 57120}{280}$

Этап 6.4.2

Добавим $- 6131$ и $57120$ .

$\frac{50989}{280}$