Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{100} 2^{i}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1}}{2^{i}}$

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2^{i + 1}$ и $2^{i}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2^{i}$ из $2^{i + 1}$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i}}$

Этап 2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{i} \cdot 2}{2^{i} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2}{1}$

Этап 2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$r = 2$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $2^{i}$ .

$a = 2^{1}$

Этап 3.2

Найдем экспоненту.

$a = 2$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{1 - 2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$2 \frac{1 - 2^{100}}{- 1}$

Этап 5.2

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{1 - 2^{100}}{- 1}$ .

$2 (- 1 \cdot (1 - 2^{100}))$

Этап 5.3

Перепишем $- 1 \cdot (1 - 2^{100})$ в виде $- (1 - 2^{100})$ .

$2 (- (1 - 2^{100}))$

Этап 5.4

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (- 1 \cdot 1 - - 2^{100})$

Этап 5.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 (- 1 - - 2^{100})$

Этап 5.6

Умножим $- - 2^{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 (- 1 + 1 \cdot 2^{100})$

Этап 5.6.2

Умножим $2^{100}$ на $1$ .

$2 (- 1 + 2^{100})$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot - 1 + 2 \cdot 2^{100}$

Этап 5.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2 \cdot 2^{100}$

Этап 5.9

Умножим $2$ на $2^{100}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Умножим $2$ на $2^{100}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$- 2 + 2^{1} \cdot 2^{100}$

Этап 5.9.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 2 + 2^{1 + 100}$

Этап 5.9.2

Добавим $1$ и $100$ .

$- 2 + 2^{101}$