Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{12} 2 i^{2} - 1$

Этап 1

Разобьем сумму на меньшие суммы в соответствии с правилами суммирования.

$\sum_{k = 1}^{12} 2 i^{2} - 1 = 2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2} + \sum_{k = 1}^{12} - 1$

Этап 2

Найдем значение $2 \sum_{k = 1}^{12} i^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Формула суммирования многочлена степени $2$ :

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Этап 2.2

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(2) (\frac{12 (12 + 1) (2 \cdot 12 + 1)}{6})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Добавим $12$ и $1$ .

$2 \frac{12 \cdot 13 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.2

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Умножим $12$ на $13$ .

$2 \frac{156 (2 \cdot 12 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $12$ .

$2 \frac{156 (24 + 1)}{6}$

Этап 2.3.1.3

Добавим $24$ и $1$ .

$2 \frac{156 \cdot 25}{6}$

Этап 2.3.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $156$ на $25$ .

$2 (\frac{3900}{6})$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$2 \frac{3900}{2 (3)}$

Этап 2.3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{3900}{2 \cdot 3}$

Этап 2.3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3900}{3}$

Этап 2.3.2.3

Разделим $3900$ на $3$ .

$1300$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{12} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Формула суммирования констант:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Этап 3.2

Подставим значения в формулу.

$(- 1) (12)$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $12$ .

$- 12$

Этап 4

Сложим результаты суммирования.

$1300 - 12$

Этап 5

Вычтем $12$ из $1300$ .

$1288$