Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{11} 2^{i - 1}$

Этап 1

Сумму конечного геометрического ряда можно найти по формуле $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{i}$ и $a_{i + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{2^{i + 1 - 1}}{2^{i - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $2^{i + 1 - 1}$ и $2^{i - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2^{i - 1}$ из $2^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{2^{i - 1} \cdot 2^{i + 0 - (i - 1)}}{2^{i - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{2^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим $2^{i + 0 - (i - 1)}$ на $1$ .

$r = 2^{i + 0 - (i - 1)}$

Этап 2.2.2

Добавим $i$ и $0$ .

$r = 2^{i - (i - 1)}$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = 2^{i - i - - 1}$

Этап 2.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = 2^{i - i + 1}$

Этап 2.2.4

Вычтем $i$ из $i$ .

$r = 2^{0 + 1}$

Этап 2.2.5

Добавим $0$ и $1$ .

$r = 2^{1}$

Этап 2.2.6

Найдем экспоненту.

$r = 2$

Этап 3

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $1$ вместо $i$ в $2^{i - 1}$ .

$a = 2^{1 - 1}$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 2^{0}$

Этап 3.2.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 1$

Этап 4

Подставим знаменатель, первый член и количество членов геометрической прогрессии в формулу суммы.

$1 \frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$ на $1$ .

$\frac{1 - 2^{11}}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Возведем $2$ в степень $11$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.2.2

Умножим $- 1$ на $2048$ .

$\frac{1 - 2048}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.2.3

Вычтем $2048$ из $1$ .

$\frac{- 2047}{1 - 1 \cdot 2}$

Этап 5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{- 2047}{1 - 2}$

Этап 5.3.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{- 2047}{- 1}$

Этап 5.4

Разделим $- 2047$ на $- 1$ .

$2047$