Математический анализ Примеры

$\sum_{n = 1}^{\infty} 12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$

Этап 1

Сумму бесконечного геометрического ряда можно найти по формуле $\frac{a}{1 - r}$ , где $a$ — первый член, а $r$ — отношение между последовательными членами.

Этап 2

Найдем отношение последовательных членов, подставив в формулу $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим $a_{n}$ и $a_{n + 1}$ в формулу для $r$ .

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Этап 2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$r = \frac{12 {(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ и ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель ${(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ из ${(- \frac{1}{9})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1}}$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Умножим на $1$ .

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- \frac{1}{9})}^{n - 1} \cdot 1}$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$r = \frac{{(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Этап 2.2.2.2.4

Разделим ${(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$ на $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n + 0 - (n - 1)}$

Этап 2.2.3

Добавим $n$ и $0$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - (n - 1)}$

Этап 2.2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n - - 1}$

Этап 2.2.4.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{n - n + 1}$

Этап 2.2.5

Вычтем $n$ из $n$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{0 + 1}$

Этап 2.2.6

Добавим $0$ и $1$ .

$r = {(- \frac{1}{9})}^{1}$

Этап 2.2.7

Упростим.

$r = - \frac{1}{9}$

Этап 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Этап 4

Найдем первый член ряда, подставив начальное значение и упростив.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $1$ вместо $n$ в $12 {(- \frac{1}{9})}^{n - 1}$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{1 - 1}$

Этап 4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$a = 12 {(- \frac{1}{9})}^{0}$

Этап 4.2.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} {(\frac{1}{9})}^{0})$

Этап 4.2.2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{9}$ .

$a = 12 ({(- 1)}^{0} \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Этап 4.2.3

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 12 (1 \frac{1^{0}}{9^{0}})$

Этап 4.2.4

Умножим $\frac{1^{0}}{9^{0}}$ на $1$ .

$a = 12 \frac{1^{0}}{9^{0}}$

Этап 4.2.5

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 12 \frac{1}{9^{0}}$

Этап 4.2.6

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.7

Сократим общий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.7.1

Сократим общий множитель.

$a = 12 (\frac{1}{1})$

Этап 4.2.7.2

Перепишем это выражение.

$a = 12 \cdot 1$

Этап 4.2.8

Умножим $12$ на $1$ .

$a = 12$

Этап 5

Подставим знаменатель и первый член геометрической прогрессии в формулу суммы.

$\frac{12}{1 - - \frac{1}{9}}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Умножим $- - \frac{1}{9}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{12}{1 + 1 (\frac{1}{9})}$

Этап 6.1.1.2

Умножим $\frac{1}{9}$ на $1$ .

$\frac{12}{1 + \frac{1}{9}}$

Этап 6.1.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{12}{\frac{9}{9} + \frac{1}{9}}$

Этап 6.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{12}{\frac{9 + 1}{9}}$

Этап 6.1.4

Добавим $9$ и $1$ .

$\frac{12}{\frac{10}{9}}$

Этап 6.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$12 (\frac{9}{10})$

Этап 6.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Вынесем множитель $2$ из $12$ .

$2 (6) \frac{9}{10}$

Этап 6.3.2

Вынесем множитель $2$ из $10$ .

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Этап 6.3.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot 6 \frac{9}{2 \cdot 5}$

Этап 6.3.4

Перепишем это выражение.

$6 (\frac{9}{5})$

Этап 6.4

Объединим $6$ и $\frac{9}{5}$ .

$\frac{6 \cdot 9}{5}$

Этап 6.5

Умножим $6$ на $9$ .

$\frac{54}{5}$