Математический анализ Примеры

$f' (x) = 4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ , $x = 5$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} + 15 x^{2} + 10 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} + 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$12 x^{2} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$12 x^{2} + 30 x + \frac{d}{d x} [10 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.4.3

Умножим $10$ на $1$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10 + 0$

Этап 1.5.2

Добавим $12 x^{2} + 30 x + 10$ и $0$ .

$12 x^{2} + 30 x + 10$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f'' (5) = 12 {(5)}^{2} + 30 (5) + 10$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f'' (5) = 12 \cdot 25 + 30 (5) + 10$

Этап 3.2

Умножим $12$ на $25$ .

$f'' (5) = 300 + 30 (5) + 10$

Этап 3.3

Умножим $30$ на $5$ .

$f'' (5) = 300 + 150 + 10$

Этап 4

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $300$ и $150$ .

$f'' (5) = 450 + 10$

Этап 4.2

Добавим $450$ и $10$ .

$f'' (5) = 460$