Математический анализ Примеры

$f (x) = \sqrt{x^{2} + 27}$ , $x = 3$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x^{2} + 27}$ в виде ${(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = x^{2} + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 27$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 27$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.6.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.7

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.7.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.7.3

Перенесем ${(x^{2} + 27)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 27]$

Этап 1.8

По правилу суммы производная $x^{2} + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 1.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [27])$

Этап 1.10

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

Этап 1.11

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

Этап 1.11.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 1.11.3

Объединим $\frac{2}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 1.11.5

Перепишем это выражение.

$\frac{x}{{(x^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \frac{3}{{({(3)}^{2} + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(9 + 27)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.2

Добавим $9$ и $27$ .

$f' (3) = \frac{3}{36^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$f' (3) = \frac{3}{{(6^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.4

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 3.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сократим общий множитель.

$f' (3) = \frac{3}{6^{2 (\frac{1}{2})}}$

Этап 3.5.2

Перепишем это выражение.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Этап 3.6

Найдем экспоненту.

$f' (3) = \frac{3}{6}$

Этап 4

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$f' (3) = \frac{3 (1)}{6}$

Этап 4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 4.2.2

Сократим общий множитель.

$f' (3) = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Этап 4.2.3

Перепишем это выражение.

$f' (3) = \frac{1}{2}$