Математический анализ Примеры

$f (r) = {(2 r)}^{\frac{2}{3}}$ , $r = 5$

Этап 1

Найдем производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 r$ .

$\frac{d}{d r} [{(2 (r))}^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.1.2

Применим правило умножения к $2 (r)$ .

$\frac{d}{d r} [2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Поскольку $2^{\frac{2}{3}}$ является константой относительно $r$ , производная $2^{\frac{2}{3}} r^{\frac{2}{3}}$ по $r$ равна $2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{d}{d r} [r^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ имеет вид $n r^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1})$

Этап 1.4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 1.5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 1.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.7.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{2 - 3}{3}})$

Этап 1.7.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{\frac{- 1}{3}})$

Этап 1.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$2^{\frac{2}{3}} (\frac{2}{3} r^{- \frac{1}{3}})$

Этап 1.9

Объединим $\frac{2}{3}$ и $r^{- \frac{1}{3}}$ .

$2^{\frac{2}{3}} \frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.10

Объединим $2^{\frac{2}{3}}$ и $\frac{2 r^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2^{\frac{2}{3}} (2 r^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Этап 1.11

Умножим $2^{\frac{2}{3}}$ на $2$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Перенесем $2$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.11.2

Умножим $2$ на $2^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.11.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2^{1 + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.11.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2^{\frac{3 + 2}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.11.5

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}} r^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Этап 1.12

Перенесем $r^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 r^{\frac{1}{3}}}$

Этап 2

Заменим в этом выражении переменную $r$ на $5$ .

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 {(5)}^{\frac{1}{3}}}$

Этап 3

Избавимся от скобок.

$f' (5) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3 \cdot 5^{\frac{1}{3}}}$