Математический анализ Примеры

$x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Этап 1

Запишем $x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ в виде функции.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ и $g (x) = x + 4$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x + 4] + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

По правилу суммы производная $x + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + \frac{d}{d x} [4]) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.3

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (1 + 0) + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.4.2

Умножим $x^{\frac{1}{3}}$ на $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Этап 2.1.2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Этап 2.1.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Этап 2.1.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Этап 2.1.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Этап 2.1.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Этап 2.1.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Этап 2.1.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Этап 2.1.9

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + (x + 4) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{\frac{1}{3}} + x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.1

Объединим $x$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.2

Перенесем $x^{\frac{2}{3}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.3

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.3.1

Умножим $x$ на $x^{- \frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.10.2.3.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1} x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{1 - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{3 - 2}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.3.4

Вычтем $2$ из $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + 4 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.4

Объединим $4$ и $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.5

Чтобы записать $x^{\frac{1}{3}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.6

Объединим $x^{\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.8

Перенесем $3$ влево от $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.1.10.2.9

Добавим $3 x^{\frac{1}{3}}$ и $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

По правилу суммы производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.2

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.3

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.4

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.6.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.6.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.8

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.9

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.10

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{4 x^{- \frac{2}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.2.11

Перенесем $x^{- \frac{2}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Поскольку $\frac{4}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ по $x$ равна $\frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$

Этап 2.2.3.2

Перепишем $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ в виде ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}]$

Этап 2.2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.2.3.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 2.2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.3.5

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.5.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.3.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 2.2.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 2.2.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 2.2.3.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.9.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 2.2.3.9.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 2.2.3.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 2.2.3.11

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.12

Объединим $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ и $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.13

Умножим $x^{- \frac{1}{3}}$ на $x^{- \frac{4}{3}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.13.1

Перенесем $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Этап 2.2.3.13.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.13.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.13.4

Вычтем $1$ из $- 4$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.13.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Этап 2.2.3.14

Перенесем $x^{- \frac{5}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} + \frac{4}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Этап 2.2.3.15

Умножим $\frac{4}{3}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{4 \cdot 2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.2.3.16

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})}$

Этап 2.2.3.17

Умножим $3$ на $3$ .

$f'' (x) = \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$

Этап 3.2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$

Этап 3.2.2

Так как $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ содержит и числа, и переменные, НОК можно найти в два этапа. Найдем НОК для числовой части $9, 9, 1$ , затем найдем НОК для части с переменной $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ .

Этап 3.2.3

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 3.2.4

У $9$ есть множители: $3$ и $3$ .

$3 \cdot 3$

Этап 3.2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 3.2.6

НОК $9, 9, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3 \cdot 3$

Этап 3.2.7

Умножим $3$ на $3$ .

$9$

Этап 3.2.8

НОК $x^{\frac{2}{3}}, x^{\frac{5}{3}}$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$x^{\frac{5}{3}}$

Этап 3.2.9

НОК $9 x^{\frac{2}{3}}, 9 x^{\frac{5}{3}}, 1$ представляет собой произведение числовой части $9$ и переменной части.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 3.3

Каждый член в $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ умножим на $9 x^{\frac{5}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим каждый член $\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} = 0$ на $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$9 \frac{4}{9 x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.3

Сократим общий множитель $x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.3.1

Вынесем множитель $x^{\frac{2}{3}}$ из $x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{4}{x^{\frac{2}{3}}} (x^{\frac{2}{3}} x^{\frac{3}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$4 x^{\frac{3}{3}} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.4

Разделим $3$ на $3$ .

$4 x^{1} - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.5

Упростим.

$4 x - \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.6

Сократим общий множитель $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{8}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ в числитель.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.6.2

Сократим общий множитель.

$4 x + \frac{- 8}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.2.1.6.3

Перепишем это выражение.

$4 x - 8 = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Умножим $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Умножим $9$ на $0$ .

$4 x - 8 = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Этап 3.3.3.1.2

Умножим $0$ на $x^{\frac{5}{3}}$ .

$4 x - 8 = 0$

Этап 3.4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $8$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 8$

Этап 3.4.2

Разделим каждый член $4 x = 8$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Разделим каждый член $4 x = 8$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Этап 3.4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{8}{4}$

Этап 3.4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{8}{4}$

Этап 3.4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Разделим $8$ на $4$ .

$x = 2$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $2$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = {(2)}^{\frac{1}{3}} ((2) + 4)$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Добавим $2$ и $4$ .

$f (2) = 2^{\frac{1}{3}} \cdot 6$

Этап 4.1.2.2

Перенесем $6$ влево от $2^{\frac{1}{3}}$ .

$f (2) = 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$ .

$6 \cdot 2^{\frac{1}{3}}$

Этап 4.2

Подставляя $2$ в $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x + 4)$ , найдем точку $(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1.9$ .

$f'' (1.9) = \frac{4}{9 {(1.9)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $1.9$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f'' (1.9) = \frac{4}{9 \cdot 1.53403664} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $9$ на $1.53403664$ .

$f'' (1.9) = \frac{4}{13.80632979} - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.1.3

Разделим $4$ на $13.80632979$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{9 {(1.9)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 6.2.1.4

Возведем $1.9$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{9 \cdot 2.91466962}$

Этап 6.2.1.5

Умножим $9$ на $2.91466962$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - \frac{8}{26.23202661}$

Этап 6.2.1.6

Разделим $8$ на $26.23202661$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - 1 \cdot 0.30497071$

Этап 6.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.30497071$ .

$f'' (1.9) = 0.28972218 - 0.30497071$

Этап 6.2.2

Вычтем $0.30497071$ из $0.28972218$ .

$f'' (1.9) = - 0.01524853$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 0.01524853$ .

$- 0.01524853$

Этап 6.3

При $1.9$ вторая производная имеет вид $- 0.01524853$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, 2)$ .

Убывание на $(- \infty, 2)$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2.1$ .

$f'' (2.1) = \frac{4}{9 {(2.1)}^{\frac{2}{3}}} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $2.1$ в степень $\frac{2}{3}$ .

$f'' (2.1) = \frac{4}{9 \cdot 1.63988299} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $9$ на $1.63988299$ .

$f'' (2.1) = \frac{4}{14.75894698} - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.1.3

Разделим $4$ на $14.75894698$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{9 {(2.1)}^{\frac{5}{3}}}$

Этап 7.2.1.4

Возведем $2.1$ в степень $\frac{5}{3}$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{9 \cdot 3.44375429}$

Этап 7.2.1.5

Умножим $9$ на $3.44375429$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - \frac{8}{30.99378865}$

Этап 7.2.1.6

Разделим $8$ на $30.99378865$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - 1 \cdot 0.25811623$

Этап 7.2.1.7

Умножим $- 1$ на $0.25811623$ .

$f'' (2.1) = 0.27102204 - 0.25811623$

Этап 7.2.2

Вычтем $0.25811623$ из $0.27102204$ .

$f'' (2.1) = 0.01290581$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $0.01290581$ .

$0.01290581$

Этап 7.3

При $2.1$ вторая производная имеет вид $0.01290581$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. В этом случае точкой перегиба является точка $(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$ .

$(2, 6 \cdot 2^{\frac{1}{3}})$

Этап 9