Математический анализ Примеры

$x^{2} + 4 y^{2} = 25$

Этап 1

Найдем стандартную форму уравнения эллипса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член на $25$ , чтобы правая часть была равна единице.

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{4 y^{2}}{25} = \frac{25}{25}$

Этап 1.2

Упростим каждый член уравнения, чтобы правая часть была равна $1$ . Стандартная форма уравнения эллипса или гиперболы требует, чтобы правая часть уравнения была равна $1$ .

$\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{\frac{25}{4}} = 1$

Этап 2

Это формула эллипса. Используем эту формулу для определения центра, большой и малой осей эллипса.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Этап 3

Сопоставим параметры эллипса со значениями в стандартной форме. Переменная $a$ представляет большую ось эллипса, $b$ — малую ось, $h$ — сдвиг по оси X от начала координат, а $k$ — сдвиг по оси Y от начала координат.

$a = 5$

$b = \frac{5}{2}$

$k = 0$

$h = 0$

Этап 4

Центр эллипса имеет вид $(h, k)$ . Подставим значения $h$ и $k$ .

$(0, 0)$

Этап 5

Найдем $c$ , расстояние от центра до фокуса.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем расстояние от центра до фокуса эллипса, используя следующую формулу.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Этап 5.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - {(\frac{5}{2})}^{2}}$

Этап 5.3.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Этап 5.3.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{2^{2}}}$

Этап 5.3.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\sqrt{25 - \frac{25}{4}}$

Этап 5.3.5

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}}$

Этап 5.3.6

Объединим $25$ и $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}}$

Этап 5.3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{25 \cdot 4 - 25}{4}}$

Этап 5.3.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.8.1

Умножим $25$ на $4$ .

$\sqrt{\frac{100 - 25}{4}}$

Этап 5.3.8.2

Вычтем $25$ из $100$ .

$\sqrt{\frac{75}{4}}$

Этап 5.3.9

Перепишем $\sqrt{\frac{75}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.10.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Этап 5.3.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Этап 5.3.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2}$

Этап 6

Найдем вершины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Первую вершину эллипса можно найти, добавив $a$ к $h$ .

$(h + a, k)$

Этап 6.2

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 + 5, 0)$

Этап 6.3

Упростим.

$(5, 0)$

Этап 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $h$ .

$(h - a, k)$

Этап 6.5

Подставим известные значения $h$ , $a$ и $k$ в формулу.

$(0 - (5), 0)$

Этап 6.6

Упростим.

$(- 5, 0)$

Этап 6.7

Эллипсы имеют две вершины.

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

Этап 7

Найдем фокусы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Первый фокус эллипса можно найти, добавив $c$ к $h$ .

$(h + c, k)$

Этап 7.2

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 + \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Этап 7.3

Упростим.

$(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Этап 7.4

Второй фокус эллипса можно найти, вычтя $c$ из $h$ .

$(h - c, k)$

Этап 7.5

Подставим известные значения $h$ , $c$ и $k$ в формулу.

$(0 - (\frac{5 \sqrt{3}}{2}), 0)$

Этап 7.6

Упростим.

$(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Этап 7.7

Эллипсы имеют два фокуса.

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Этап 8

Найдем эксцентриситет.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем эксцентриситет по приведенной ниже формуле.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Этап 8.2

Подставим значения $a$ и $b$ в формулу.

$\frac{\sqrt{{(5)}^{2} - {(\frac{5}{2})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - {(\frac{5}{2})}^{2}}}{5}$

Этап 8.3.1.2

Применим правило умножения к $\frac{5}{2}$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{5^{2}}{2^{2}}}}{5}$

Этап 8.3.1.3

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{2^{2}}}}{5}$

Этап 8.3.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{\sqrt{25 - \frac{25}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.5

Чтобы записать $25$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{25 \cdot \frac{4}{4} - \frac{25}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.6

Объединим $25$ и $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 4}{4} - \frac{25}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sqrt{\frac{25 \cdot 4 - 25}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.8.1

Умножим $25$ на $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{100 - 25}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.8.2

Вычтем $25$ из $100$ .

$\frac{\sqrt{\frac{75}{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.9

Перепишем $\sqrt{\frac{75}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{75}}{\sqrt{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.10

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1

Перепишем $75$ в виде $5^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.10.1.1

Вынесем множитель $25$ из $75$ .

$\frac{\frac{\sqrt{25 (3)}}{\sqrt{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.10.1.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{5^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.10.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{5}$

Этап 8.3.1.11

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.11.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{5}$

Этап 8.3.1.11.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{\frac{5 \sqrt{3}}{2}}{5}$

Этап 8.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.3.3

Сократим общий множитель $5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Вынесем множитель $5$ из $5 \sqrt{3}$ .

$\frac{5 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Этап 8.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 9

Эти значения представляются важными для построения графика и анализа эллипса.

Центр: $(0, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(5, 0)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 5, 0)$

${Focus}_{1}$ : $(\frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

${Focus}_{2}$ : $(- \frac{5 \sqrt{3}}{2}, 0)$

Эксцентриситет: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Этап 10