Математический анализ Примеры

$\frac{x}{x^{2} + 16}$

Этап 1

Запишем $\frac{x}{x^{2} + 16}$ в виде функции.

$f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$

Этап 2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.2

Умножим $x^{2} + 16$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.5

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.2.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.1.7

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2.2

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 16] - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.2

По правилу суммы производная $- x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + \frac{d}{d x} [16]) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.6

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x + 0) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.2.7

Добавим $- 2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 16)}^{2}]}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - (- x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x^{2} + 16])}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} [16]))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.4

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 16$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 2 (- x^{2} + 16) (2 \cdot (x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) - 4 (- x^{2} + 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 2 x) + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 16)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{- 2 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.1.3

Умножим $16$ на $16$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.4.2

Добавим $16 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$\frac{- 2 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(- 2 x^{4} - 2 (32 x^{2}) - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.6.1

Умножим $32$ на $- 2$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 2 \cdot 256) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.6.2

Умножим $- 2$ на $256$ .

$\frac{(- 2 x^{4} - 64 x^{2} - 512) x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{4} x - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 (x^{1} x^{4}) - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{2} x - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 (x^{1} x^{2}) - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (- 4 (- x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.9.1

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2} x^{1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + (4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11

Развернем $(4 x^{2} - 64) (x^{3} + 16 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{2} x^{3} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 (x^{3} x^{2}) + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{3 + 2} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 x^{2} (16 x) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{2} x - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x \cdot x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 (x^{1} x^{2}) - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{1 + 2} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 4 \cdot 16 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.4

Умножим $4$ на $16$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.1.5

Умножим $16$ на $- 64$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.2

Вычтем $64 x^{3}$ из $64 x^{3}$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} + 0 - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.1.12.3

Добавим $4 x^{5}$ и $0$ .

$\frac{- 2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x + 4 x^{5} - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.2

Добавим $- 2 x^{5}$ и $4 x^{5}$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 512 x - 1024 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.3.3

Вычтем $1024 x$ из $- 512 x$ .

$\frac{2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5} - 64 x^{3} - 1536 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.1.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{5}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.2

Вынесем множитель $2 x$ из $- 64 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) - 1536 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.3

Вынесем множитель $2 x$ из $- 1536 x$ .

$\frac{2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4}) + 2 x (- 32 x^{2})$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.1.5

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 2 x (- 768)$ .

$\frac{2 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$\frac{2 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$\frac{2 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.4

Разложим $u^{2} - 32 u - 768$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 768$ , а сумма — $- 32$ .

$- 48, 16$

Этап 2.2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$\frac{2 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 16$ и ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $2 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 2.2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 16) (2 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 2.2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 2.3

Вторая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 3

Приравняем вторую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Пусть вторая производная равна $0$ .

$\frac{2 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}} = 0$

Этап 3.2

Приравняем числитель к нулю.

$2 x (x^{2} - 48) = 0$

Этап 3.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 48 = 0$

Этап 3.3.2

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 3.3.3

Приравняем $x^{2} - 48$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Приравняем $x^{2} - 48$ к $0$ .

$x^{2} - 48 = 0$

Этап 3.3.3.2

Решим $x^{2} - 48 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Добавим $48$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 48$

Этап 3.3.3.2.2

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{48}$

Этап 3.3.3.2.3

Упростим $\pm \sqrt{48}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1

Перепишем $48$ в виде $4^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $16$ из $48$ .

$x = \pm \sqrt{16 (3)}$

Этап 3.3.3.2.3.1.2

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}$

Этап 3.3.3.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \pm 4 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4 \sqrt{3}$

Этап 3.3.3.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Этап 3.3.4

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 x (x^{2} - 48) = 0$ верно.

$x = 0, 4 \sqrt{3}, - 4 \sqrt{3}$

Этап 4

Найдем точки, в которых вторая производная равна $0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0}{{(0)}^{2} + 16}$

Этап 4.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0}{0 + 16}$

Этап 4.1.2.1.2

Добавим $0$ и $16$ .

$f (0) = \frac{0}{16}$

Этап 4.1.2.2

Разделим $0$ на $16$ .

$f (0) = 0$

Этап 4.1.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 4.2

Подставляя $0$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , найдем точку $(0, 0)$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(0, 0)$

Этап 4.3

Подставим $4 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{{(4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Этап 4.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Применим правило умножения к $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Этап 4.3.2.1.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Этап 4.3.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Этап 4.3.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Этап 4.3.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Этап 4.3.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Этап 4.3.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Этап 4.3.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Этап 4.3.2.1.4

Умножим $16$ на $3$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $48$ и $16$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{64}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель $4$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4 \sqrt{3}$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 (\sqrt{3})}{64}$

Этап 4.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Этап 4.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{4 \sqrt{3}}{4 \cdot 16}$

Этап 4.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4 \sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{16}$

Этап 4.3.2.3

Окончательный ответ: $\frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$\frac{\sqrt{3}}{16}$

Этап 4.4

Подставляя $4 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , найдем точку $(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Этап 4.5

Подставим $- 4 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , чтобы найти значение $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4 \sqrt{3})}^{2} + 16}$

Этап 4.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.1

Применим правило умножения к $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{{(- 4)}^{2} {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Этап 4.5.2.1.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {\sqrt{3}}^{2} + 16}$

Этап 4.5.2.1.3

Перепишем ${\sqrt{3}}^{2}$ в виде $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3}$ в виде $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 16}$

Этап 4.5.2.1.3.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 16}$

Этап 4.5.2.1.3.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Этап 4.5.2.1.3.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.1.3.4.1

Сократим общий множитель.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 16}$

Этап 4.5.2.1.3.4.2

Перепишем это выражение.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Этап 4.5.2.1.3.5

Найдем экспоненту.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{16 \cdot 3 + 16}$

Этап 4.5.2.1.4

Умножим $16$ на $3$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{48 + 16}$

Этап 4.5.2.1.5

Добавим $48$ и $16$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- 4 \sqrt{3}}{64}$

Этап 4.5.2.2

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ и $64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{64}$

Этап 4.5.2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.2.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $64$ .

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 (16)}$

Этап 4.5.2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{4 (- \sqrt{3})}{4 \cdot 16}$

Этап 4.5.2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (- 4 \sqrt{3}) = \frac{- \sqrt{3}}{16}$

Этап 4.5.2.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 4 \sqrt{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{16}$

Этап 4.5.2.3

Окончательный ответ: $- \frac{\sqrt{3}}{16}$ .

$- \frac{\sqrt{3}}{16}$

Этап 4.6

Подставляя $- 4 \sqrt{3}$ в $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 16}$ , найдем точку $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$ . Эта точка может быть точкой перегиба.

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Этап 4.7

Определим точки, которые могут быть точками перегиба.

$(0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16}), (- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16})$

Этап 5

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на интервалы вокруг точек, которые могут быть точками перегиба.

$(- \infty, - 4 \sqrt{3}) \cup (- 4 \sqrt{3}, 0) \cup (0, 4 \sqrt{3}) \cup (4 \sqrt{3}, \infty)$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{2 (- 7.02820323) ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Умножим $2$ на $- 7.02820323$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 14.05640646 ({(- 7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 6.2.1.2

Умножим $- 14.05640646$ на ${(- 7.02820323)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{({(- 7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 6.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Возведем $- 7.02820323$ в степень $2$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Этап 6.2.2.2

Добавим $49.39564064$ и $16$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Этап 6.2.2.3

Возведем $65.39564064$ в степень $3$ .

$f'' (- 7.02820323) = \frac{- 19.61769219}{279670.33076553}$

Этап 6.2.3

Разделим $- 19.61769219$ на $279670.33076553$ .

$f'' (- 7.02820323) = - 0.00007014$

Этап 6.2.4

Окончательный ответ: $- 0.00007014$ .

$- 0.00007014$

Этап 6.3

При $- 7.02820323$ вторая производная имеет вид $- 7.01457753 E - 5$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(- \infty, - 4 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{2 (- 3.46410161) ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Умножим $2$ на $- 3.46410161$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{- 6.92820323 ({(- 3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 7.2.1.2

Умножим $- 6.92820323$ на ${(- 3.46410161)}^{2} - 48$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{({(- 3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 7.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Возведем $- 3.46410161$ в степень $2$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Этап 7.2.2.2

Добавим $12$ и $16$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{28^{3}}$

Этап 7.2.2.3

Возведем $28$ в степень $3$ .

$f'' (- 3.46410161) = \frac{249.41531628}{21952}$

Этап 7.2.3

Разделим $249.41531628$ на $21952$ .

$f'' (- 3.46410161) = 0.01136184$

Этап 7.2.4

Окончательный ответ: $0.01136184$ .

$0.01136184$

Этап 7.3

При $- 3.46410161$ вторая производная имеет вид $0.01136184$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ .

Возрастание в области $(- 4 \sqrt{3}, 0)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 8

Подставим значение из интервала $(0, 4 \sqrt{3})$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{2 (3.46410161) ({(3.46410161)}^{2} - 48)}{{({(3.46410161)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 8.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Умножим $2$ на $3.46410161$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{6.92820323 ({3.46410161}^{2} - 48)}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 8.2.1.2

Умножим $6.92820323$ на ${3.46410161}^{2} - 48$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{({3.46410161}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 8.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Возведем $3.46410161$ в степень $2$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{{(12 + 16)}^{3}}$

Этап 8.2.2.2

Добавим $12$ и $16$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{28^{3}}$

Этап 8.2.2.3

Возведем $28$ в степень $3$ .

$f'' (3.46410161) = \frac{- 249.41531628}{21952}$

Этап 8.2.3

Разделим $- 249.41531628$ на $21952$ .

$f'' (3.46410161) = - 0.01136184$

Этап 8.2.4

Окончательный ответ: $- 0.01136184$ .

$- 0.01136184$

Этап 8.3

При $3.46410161$ вторая производная имеет вид $- 0.01136184$ . Поскольку это отрицательная величина, вторая производная уменьшается на интервале $(0, 4 \sqrt{3})$ .

Убывание на $(0, 4 \sqrt{3})$ , так как $f'' (x) < 0$

Этап 9

Подставим значение из интервала $(4 \sqrt{3}, \infty)$ во вторую производную, чтобы определить, возрастает она или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{2 (7.02820323) ({(7.02820323)}^{2} - 48)}{{({(7.02820323)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1.1

Умножим $2$ на $7.02820323$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{14.05640646 ({7.02820323}^{2} - 48)}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 9.2.1.2

Умножим $14.05640646$ на ${7.02820323}^{2} - 48$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{({7.02820323}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Возведем $7.02820323$ в степень $2$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{(49.39564064 + 16)}^{3}}$

Этап 9.2.2.2

Добавим $49.39564064$ и $16$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{{65.39564064}^{3}}$

Этап 9.2.2.3

Возведем $65.39564064$ в степень $3$ .

$f'' (7.02820323) = \frac{19.61769219}{279670.33076553}$

Этап 9.2.3

Разделим $19.61769219$ на $279670.33076553$ .

$f'' (7.02820323) = 0.00007014$

Этап 9.2.4

Окончательный ответ: $0.00007014$ .

$0.00007014$

Этап 9.3

При $7.02820323$ вторая производная имеет вид $7.01457753 E - 5$ . Поскольку это положительная величина, вторая производная возрастает на интервале $(4 \sqrt{3}, \infty)$ .

Возрастание в области $(4 \sqrt{3}, \infty)$ , так как $f'' (x) > 0$

Этап 10

Точка перегиба — это точка на кривой, в которой вогнутость меняет знак с плюса на минус или с минуса на плюс. Точки перегиба в данном случае: $(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$ .

$(- 4 \sqrt{3}, - \frac{\sqrt{3}}{16}), (0, 0), (4 \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{16})$

Этап 11