Математический анализ Примеры

$f (x) = - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Этап 1

Найдем, где выражение $- {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Вычислим $lim_{x \to \infty} - {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ , чтобы определить горизонтальную асимптоту.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем член $- 1$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$- lim_{x \to \infty} {(x - 0.086)}^{e^{- x}}$

Этап 3.2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Перепишем ${(x - 0.086)}^{e^{- x}}$ в виде $e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$ .

$- lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})}$

Этап 3.2.2

Развернем $\ln ({(x - 0.086)}^{e^{- x}})$ , вынося $e^{- x}$ из логарифма.

$- lim_{x \to \infty} e^{e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Этап 3.3

Внесем предел под знак экспоненты.

$- e^{lim_{x \to \infty} e^{- x} \ln (x - 0.086)}$

Этап 3.4

Перепишем $e^{- x} \ln (x - 0.086)$ в виде $\frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}}}$

Этап 3.5

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$- e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (x - 0.086)}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Этап 3.5.1.2

Когда логарифм стремится к бесконечности, значение стремится к $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x}}}$

Этап 3.5.1.3

Поскольку показатель степени $x$ стремится к $\infty$ , величина $e^{x}$ стремится к $\infty$ .

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.5.1.4

Деление бесконечности на бесконечность не определено.

Неопределенные

$- e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Этап 3.5.2

Поскольку $\frac{\infty}{\infty}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (x - 0.086)}{e^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}$

Этап 3.5.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x - 0.086)]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x - 0.086$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 0.086$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \frac{d}{d x} [x - 0.086]}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.3

По правилу суммы производная $x - 0.086$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086]$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + \frac{d}{d x} [- 0.086])}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.5

Поскольку $- 0.086$ является константой относительно $x$ , производная $- 0.086$ относительно $x$ равна $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.6

Добавим $1$ и $0$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.7

Умножим $\frac{1}{x - 0.086}$ на $1$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{\frac{d}{d x} [e^{x}]}}$

Этап 3.5.3.8

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x - 0.086}}{e^{x}}}$

Этап 3.5.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x - 0.086} \cdot \frac{1}{e^{x}}}$

Этап 3.5.5

Умножим $\frac{1}{x - 0.086}$ на $\frac{1}{e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}}$

Этап 3.5.6

Изменим порядок множителей в $\frac{1}{(x - 0.086) e^{x}}$ .

$- e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}}$

Этап 3.6

Поскольку числитель стремится к вещественному числу, а знаменатель неограничен, дробь $\frac{1}{e^{x} (x - 0.086)}$ стремится к $0$ .

$- e^{0}$

Этап 3.7

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 3.7.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 4

Перечислим горизонтальные асимптоты:

$y = - 1$

Этап 5

Наклонной асимптоты нет, поскольку степень числителя меньше или равна степени знаменателя.

Нет наклонных асимптот

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Горизонтальные асимптоты: $y = - 1$

Нет наклонных асимптот

Этап 7