Математический анализ Примеры

$s (t) = 2 t^{2} - \frac{t^{3}}{6}$

Этап 1

Найдем точку в $x = 6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f (6) = 2 {(6)}^{2} - \frac{{(6)}^{3}}{6}$

Этап 1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 2 \cdot 36 - \frac{{(6)}^{3}}{6}$

Этап 1.2.1.2

Умножим $2$ на $36$ .

$f (6) = 72 - \frac{{(6)}^{3}}{6}$

Этап 1.2.1.3

Сократим общий множитель ${(6)}^{3}$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.1

Вынесем множитель $6$ из ${(6)}^{3}$ .

$f (6) = 72 - \frac{6 \cdot 6^{2}}{6}$

Этап 1.2.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.3.2.1

Вынесем множитель $6$ из $6$ .

$f (6) = 72 - \frac{6 \cdot 6^{2}}{6 (1)}$

Этап 1.2.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$f (6) = 72 - \frac{6 \cdot 6^{2}}{6 \cdot 1}$

Этап 1.2.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$f (6) = 72 - \frac{6^{2}}{1}$

Этап 1.2.1.3.2.4

Разделим $6^{2}$ на $1$ .

$f (6) = 72 - 6^{2}$

Этап 1.2.1.4

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f (6) = 72 - 1 \cdot 36$

Этап 1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $36$ .

$f (6) = 72 - 36$

Этап 1.2.2

Вычтем $36$ из $72$ .

$f (6) = 36$

Этап 1.2.3

Окончательный ответ: $36$ .

$36$

Этап 1.3

Преобразуем $36$ в десятичное представление.

$y = 36$

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - \frac{{(2)}^{3}}{6}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Умножим $2$ на ${(2)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1.1

Возведем $2$ в степень $1$ .

$f (2) = 2 {(2)}^{2} - \frac{{(2)}^{3}}{6}$

Этап 2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (2) = 2^{1 + 2} - \frac{{(2)}^{3}}{6}$

Этап 2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (2) = 2^{3} - \frac{{(2)}^{3}}{6}$

Этап 2.2.1.2

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 - \frac{{(2)}^{3}}{6}$

Этап 2.2.1.3

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 8 - \frac{8}{6}$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $8$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$f (2) = 8 - \frac{2 (4)}{6}$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (2) = 8 - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = 8 - \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 3}$

Этап 2.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = 8 - \frac{4}{3}$

Этап 2.2.2

Чтобы записать $8$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = 8 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 2.2.3

Объединим $8$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (2) = \frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Этап 2.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (2) = \frac{8 \cdot 3 - 4}{3}$

Этап 2.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.5.1

Умножим $8$ на $3$ .

$f (2) = \frac{24 - 4}{3}$

Этап 2.2.5.2

Вычтем $4$ из $24$ .

$f (2) = \frac{20}{3}$

Этап 2.2.6

Окончательный ответ: $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 2.3

Преобразуем $\frac{20}{3}$ в десятичное представление.

$y = 6.\overline{6}$

Этап 3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - \frac{{(3)}^{3}}{6}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$f (3) = 2 \cdot 9 - \frac{{(3)}^{3}}{6}$

Этап 3.2.1.2

Умножим $2$ на $9$ .

$f (3) = 18 - \frac{{(3)}^{3}}{6}$

Этап 3.2.1.3

Возведем $3$ в степень $3$ .

$f (3) = 18 - \frac{27}{6}$

Этап 3.2.1.4

Сократим общий множитель $27$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.1

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$f (3) = 18 - \frac{3 (9)}{6}$

Этап 3.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$f (3) = 18 - \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Этап 3.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (3) = 18 - \frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 2}$

Этап 3.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (3) = 18 - \frac{9}{2}$

Этап 3.2.2

Чтобы записать $18$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = 18 \cdot \frac{2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 3.2.3

Объединим $18$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = \frac{18 \cdot 2}{2} - \frac{9}{2}$

Этап 3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (3) = \frac{18 \cdot 2 - 9}{2}$

Этап 3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $18$ на $2$ .

$f (3) = \frac{36 - 9}{2}$

Этап 3.2.5.2

Вычтем $9$ из $36$ .

$f (3) = \frac{27}{2}$

Этап 3.2.6

Окончательный ответ: $\frac{27}{2}$ .

$\frac{27}{2}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{27}{2}$ в десятичное представление.

$y = 13.5$

Этап 4

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = 2 {(4)}^{2} - \frac{{(4)}^{3}}{6}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f (4) = 2 \cdot 16 - \frac{{(4)}^{3}}{6}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $2$ на $16$ .

$f (4) = 32 - \frac{{(4)}^{3}}{6}$

Этап 4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f (4) = 32 - \frac{64}{6}$

Этап 4.2.1.4

Сократим общий множитель $64$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $64$ .

$f (4) = 32 - \frac{2 (32)}{6}$

Этап 4.2.1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$f (4) = 32 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4) = 32 - \frac{2 \cdot 32}{2 \cdot 3}$

Этап 4.2.1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4) = 32 - \frac{32}{3}$

Этап 4.2.2

Чтобы записать $32$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = 32 \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 4.2.3

Объединим $32$ и $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{32 \cdot 3}{3} - \frac{32}{3}$

Этап 4.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (4) = \frac{32 \cdot 3 - 32}{3}$

Этап 4.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $32$ на $3$ .

$f (4) = \frac{96 - 32}{3}$

Этап 4.2.5.2

Вычтем $32$ из $96$ .

$f (4) = \frac{64}{3}$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\frac{64}{3}$ .

$\frac{64}{3}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{64}{3}$ в десятичное представление.

$y = 21.\overline{3}$

Этап 5

Найдем точку в $x = 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $5$ .

$f (5) = 2 {(5)}^{2} - \frac{{(5)}^{3}}{6}$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$f (5) = 2 \cdot 25 - \frac{{(5)}^{3}}{6}$

Этап 5.2.1.2

Умножим $2$ на $25$ .

$f (5) = 50 - \frac{{(5)}^{3}}{6}$

Этап 5.2.1.3

Возведем $5$ в степень $3$ .

$f (5) = 50 - \frac{125}{6}$

Этап 5.2.2

Чтобы записать $50$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{6}{6}$ .

$f (5) = 50 \cdot \frac{6}{6} - \frac{125}{6}$

Этап 5.2.3

Объединим $50$ и $\frac{6}{6}$ .

$f (5) = \frac{50 \cdot 6}{6} - \frac{125}{6}$

Этап 5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (5) = \frac{50 \cdot 6 - 125}{6}$

Этап 5.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.5.1

Умножим $50$ на $6$ .

$f (5) = \frac{300 - 125}{6}$

Этап 5.2.5.2

Вычтем $125$ из $300$ .

$f (5) = \frac{175}{6}$

Этап 5.2.6

Окончательный ответ: $\frac{175}{6}$ .

$\frac{175}{6}$

Этап 5.3

Преобразуем $\frac{175}{6}$ в десятичное представление.

$y = 29.1\overline{6}$

Этап 6

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6.667 \\ 3 & 13.5 \\ 4 & 21.333 \\ 5 & 29.167 \\ 6 & 36 \end{array}$

Этап 7

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и выбранные точки.

Возрастает влево и убывает вправо

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 6.667 \\ 3 & 13.5 \\ 4 & 21.333 \\ 5 & 29.167 \\ 6 & 36 \end{array}$

Этап 8