Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (x^{2} - 4)$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Приравняем аргумент логарифма к нулю.

$x^{2} - 4 = 0$

Этап 1.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 4$

Этап 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 1.2.3

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 1.2.3.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 1.2.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 1.2.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 1.2.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 1.3

Вертикальная асимптота возникает в $x = 2, x = - 2$ .

Вертикальная асимптота: $x = 2, x = - 2$

Этап 2

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \ln ({(- 3)}^{2} - 4)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \ln (9 - 4)$

Этап 2.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f (- 3) = \ln (5)$

Этап 2.2.3

Окончательный ответ: $\ln (5)$ .

$\ln (5)$

Этап 2.3

Преобразуем $\ln (5)$ в десятичное представление.

$= 1.60943791$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \ln ({(- 4)}^{2} - 4)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \ln (16 - 4)$

Этап 3.2.2

Вычтем $4$ из $16$ .

$f (- 4) = \ln (12)$

Этап 3.2.3

Окончательный ответ: $\ln (12)$ .

$\ln (12)$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (12)$ в десятичное представление.

$= 2.48490664$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \ln ({(- 5)}^{2} - 4)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \ln (25 - 4)$

Этап 4.2.2

Вычтем $4$ из $25$ .

$f (- 5) = \ln (21)$

Этап 4.2.3

Окончательный ответ: $\ln (21)$ .

$\ln (21)$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (21)$ в десятичное представление.

$= 3.04452243$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 2, x = - 2$ и точек $(- 3, 1.60943791), (- 4, 2.48490664), (- 5, 3.04452243)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 2, x = - 2$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 3.045 \\ - 4 & 2.485 \\ - 3 & 1.609 \end{array}$

Этап 6