Математический анализ Примеры

$\int x^{4} e^{x^{5} - 2} d x$

Этап 1

Пусть $u = x^{5} - 2$ . Тогда $d u = 5 x^{4} d x$ , следовательно $\frac{1}{5} d u = x^{4} d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = x^{5} - 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $x^{5} - 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5} - 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $x^{5} - 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2]$

Этап 1.1.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2$ относительно $x$ равна $0$ .

$5 x^{4} + 0$

Этап 1.1.5

Добавим $5 x^{4}$ и $0$ .

$5 x^{4}$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{5} d u$

Этап 2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{e^{u}}{5} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{5}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{5}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{5} \int e^{u} d u$

Этап 4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{5} (e^{u} + C)$

Этап 5

Упростим.

$\frac{1}{5} e^{u} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5} - 2$ .

$\frac{1}{5} e^{x^{5} - 2} + C$