Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$ не определено.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 2

Вертикальные асимптоты находятся в точках бесконечного разрыва непрерывности.

Нет вертикальных асимптот

Этап 3

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 4$

$m = 2$

Этап 5

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 6

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 3 x^{3} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.1.4

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x (3 x^{2})$ .

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.1.5

Вынесем множитель $x$ из $x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2

Развернем $x (x^{3} + 3 x^{2} - 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (x^{3} + 3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x \cdot x^{3} + x (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.3

Избавимся от скобок.

$\frac{x \cdot x^{3} + x \cdot (3 x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.4

Изменим порядок $x$ и $3$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) + x \cdot - 2}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.5

Изменим порядок $x$ и $- 2$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 \cdot (x \cdot x^{2}) - 2 \cdot x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.6

Умножим $3$ на $x$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x \cdot x^{3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{1 + 3} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.9

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{x^{4} + 3 x \cdot x^{2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.10

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x^{4} + 3 x^{1 + 2} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.2.12

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{x^{4} + 3 x^{3} - 2 x}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 6.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{4}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

Этап 6.5

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

Этап 6.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{4} + 0 + \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

Этап 6.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

Этап 6.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

Этап 6.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $3 x^{3}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

Этап 6.10

Умножим новое частное на делитель.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

Этап 6.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $3 x^{3} + 0 + \frac{3 x}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

Этап 6.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

Этап 6.13

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

Этап 6.14

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- \frac{x^{2}}{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

Этап 6.15

Умножим новое частное на делитель.

						$\frac{x^{2}}{2}$	+	$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{1}{4}$
$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$x^{4}$	+	$3 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$2 x$	+	$0$
					-	$x^{4}$	-	$0$	-	$\frac{x^{2}}{2}$
							+	$3 x^{3}$	-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$2 x$
							-	$3 x^{3}$	-	$0$	-	$\frac{3 x}{2}$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	-	$\frac{7 x}{2}$	+	$0$
									-	$\frac{x^{2}}{2}$	+	$0$	-	$\frac{1}{4}$

Этап 6.16

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- \frac{x^{2}}{2} + 0 - \frac{1}{4}$ .

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

Этап 6.17

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

$2 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{4}$

$3 x^{3}$

$0 x^{2}$

$2 x$

$0$

$x^{4}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$3 x^{3}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$2 x$

$3 x^{3}$

$0$

$\frac{3 x}{2}$

$\frac{x^{2}}{2}$

$\frac{7 x}{2}$

$0$

$\frac{x^{2}}{2}$

$0$

$\frac{1}{4}$

$\frac{7 x}{2}$

$\frac{1}{4}$

Этап 6.18

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4} + \frac{- \frac{7 x}{2} + \frac{1}{4}}{2 x^{2} + 1}$

Этап 6.19

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 7

Это множество всех асимптот.

Нет вертикальных асимптот

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = \frac{x^{2}}{2} + \frac{3 x}{2} - \frac{1}{4}$

Этап 8