Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{- x^{2} - 3}{x + 1}$

Этап 1

Найдем, где выражение $- \frac{x^{2} + 3}{x + 1}$ не определено.

$x = - 1$

Этап 2

Рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 3

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Этап 4

Поскольку $n > m$ , горизонтальная асимптота отсутствует.

Нет горизонтальных асимптот

Этап 5

Найдем наклонную асимптоту, используя деление многочленов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) - 3}{x + 1}$

Этап 5.1.2

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (3)}{x + 1}$

Этап 5.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x^{2}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Этап 5.1.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Перепишем $- (x^{2} + 3)$ в виде $- 1 (x^{2} + 3)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Этап 5.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x^{2} + 3}{x + 1}$

Этап 5.2

Развернем $- (x^{2} + 3)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Изменим знак $x^{2} + 3$ на противоположный.

$\frac{- (x^{2} + 3)}{x + 1}$

Этап 5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- x^{2} - 1 \cdot 3}{x + 1}$

Этап 5.2.3

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{- x^{2} - 3}{x + 1}$

Этап 5.3

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$0 x$

$3$

Этап 5.4

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				-	$x$
	$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$

Этап 5.5

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Этап 5.6

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- x^{2} - x$ .

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Этап 5.7

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$

Этап 5.8

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

			-	$x$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$

Этап 5.9

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$

Этап 5.10

Умножим новое частное на делитель.

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					+	$x$	+	$1$

Этап 5.11

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					-	$x$	-	$1$

Этап 5.12

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

			-	$x$	+	$1$
$x$	+	$1$	-	$x^{2}$	+	$0 x$	-	$3$
			+	$x^{2}$	+	$x$
					+	$x$	-	$3$
					-	$x$	-	$1$
							-	$4$

Этап 5.13

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- x + 1 - \frac{4}{x + 1}$

Этап 5.14

Наклонная асимптота ― это полиномиальная часть результата деления в столбик.

$y = - x + 1$

Этап 6

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = - 1$

Нет горизонтальных асимптот

Наклонные асимптоты: $y = - x + 1$

Этап 7