Математический анализ Примеры

$f (x) = | 9 - x^{2} |$

Этап 1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Интервальное представление:

$(- \infty, \infty)$

Обозначение построения множества:

${x | x \in ℝ}$

Этап 2

Для каждого значения $x$ имеется одно значение $y$ . Выберем несколько значений $x$ из области определения. Удобнее будет выбрать значения, находящиеся вблизи значения $x$ , являющегося вершиной графика абсолютного значения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Подставим значение $x$ $- 2$ в $f (x) = | 9 - x^{2} |$ . В данном случае получится точка $(- 2, 5)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = | 9 - {(- 2)}^{2} |$

Этап 2.1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = | 9 - 1 \cdot 4 |$

Этап 2.1.2.1.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f (- 2) = | 9 - 4 |$

Этап 2.1.2.2

Вычтем $4$ из $9$ .

$f (- 2) = | 5 |$

Этап 2.1.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $5$ равно $5$ .

$f (- 2) = 5$

Этап 2.1.2.4

Окончательный ответ: $5$ .

$y = 5$

Этап 2.2

Подставим значение $x$ $- 1$ в $f (x) = | 9 - x^{2} |$ . В данном случае получится точка $(- 1, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = | 9 - {(- 1)}^{2} |$

Этап 2.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1

Умножим $- 1$ на ${(- 1)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1.1.1

Возведем $- 1$ в степень $1$ .

$f (- 1) = | 9 + (- 1) {(- 1)}^{2} |$

Этап 2.2.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (- 1) = | 9 + {(- 1)}^{1 + 2} |$

Этап 2.2.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$f (- 1) = | 9 + {(- 1)}^{3} |$

Этап 2.2.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$f (- 1) = | 9 - 1 |$

Этап 2.2.2.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$f (- 1) = | 8 |$

Этап 2.2.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$f (- 1) = 8$

Этап 2.2.2.4

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 2.3

Подставим значение $x$ $0$ в $f (x) = | 9 - x^{2} |$ . В данном случае получится точка $(0, 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = | 9 - {(0)}^{2} |$

Этап 2.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = | 9 - 0 |$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (0) = | 9 + 0 |$

Этап 2.3.2.2

Добавим $9$ и $0$ .

$f (0) = | 9 |$

Этап 2.3.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $9$ равно $9$ .

$f (0) = 9$

Этап 2.3.2.4

Окончательный ответ: $9$ .

$y = 9$

Этап 2.4

Подставим значение $x$ $1$ в $f (x) = | 9 - x^{2} |$ . В данном случае получится точка $(1, 8)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = | 9 - {(1)}^{2} |$

Этап 2.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = | 9 - 1 \cdot 1 |$

Этап 2.4.2.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$f (1) = | 9 - 1 |$

Этап 2.4.2.2

Вычтем $1$ из $9$ .

$f (1) = | 8 |$

Этап 2.4.2.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $8$ равно $8$ .

$f (1) = 8$

Этап 2.4.2.4

Окончательный ответ: $8$ .

$y = 8$

Этап 2.5

График функции абсолютного значения можно построить по точкам около вершины $(- 2, 5), (- 1, 8), (0, 9), (1, 8)$ .

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 5 \\ - 1 & 8 \\ 0 & 9 \\ 1 & 8 \end{array}$

Этап 3