Математический анализ Примеры

$\sum_{i = 1}^{5} {(2 i - 1)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(2 i - 1)}^{2}$ в виде $(2 i - 1) (2 i - 1)$ .

$(2 i - 1) (2 i - 1)$

Этап 1.2

Развернем $(2 i - 1) (2 i - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i - 1) - 1 (2 i - 1)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i - 1)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 i (2 i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot 2 i \cdot i + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2

Умножим $i$ на $i$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.2.1

Перенесем $i$ .

$2 \cdot 2 (i \cdot i) + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.2.2

Умножим $i$ на $i$ .

$2 \cdot 2 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 i^{2} + 2 i \cdot - 1 - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$4 i^{2} - 2 i - 1 (2 i) - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i - 1 \cdot - 1$

Этап 1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$4 i^{2} - 2 i - 2 i + 1$

Этап 1.3.2

Вычтем $2 i$ из $- 2 i$ .

$4 i^{2} - 4 i + 1$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{i = 1}^{5} 4 i^{2} - 4 i + 1$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $i$ .

$4 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 1 + 4 \cdot 2^{2} - 4 \cdot 2 + 1 + 4 \cdot 3^{2} - 4 \cdot 3 + 1 + \dots + 4 \cdot 5^{2} - 4 \cdot 5 + 1$

Этап 3

Упростим расширенную форму.

$165$