Математический анализ Примеры

$\int {(9 x + 2)}^{2} d x$

Этап 1

Пусть $u = 9 x + 2$ . Тогда $d u = 9 d x$ , следовательно $\frac{1}{9} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = 9 x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $9 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [9 x + 2]$

Этап 1.1.2

По правилу суммы производная $9 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $9$ на $1$ .

$9 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$9 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $9$ и $0$ .

$9$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{9} d u$

Этап 2

Объединим $u^{2}$ и $\frac{1}{9}$ .

$\int \frac{u^{2}}{9} d u$

Этап 3

Поскольку $\frac{1}{9}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{9}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{9} \int u^{2} d u$

Этап 4

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{9} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $\frac{1}{9} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ в виде $\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$\frac{1}{9} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $\frac{1}{9}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{9 \cdot 3} u^{3} + C$

Этап 5.2.2

Умножим $9$ на $3$ .

$\frac{1}{27} u^{3} + C$

Этап 6

Заменим все вхождения $u$ на $9 x + 2$ .

$\frac{1}{27} {(9 x + 2)}^{3} + C$