Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 3 x^{2} + 5 x$

Этап 1

Найдем точку в $x = - 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + 3 {(- 3)}^{2} + 5 (- 3)$

Этап 1.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Запишем $3 {(- 3)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2}}{1} + 5 (- 3)$

Этап 1.2.1.2

Умножим $\frac{3 {(- 3)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 3)$

Этап 1.2.1.3

Умножим $\frac{3 {(- 3)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 3)$

Этап 1.2.1.4

Запишем $5 (- 3)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3)}{1}$

Этап 1.2.1.5

Умножим $\frac{5 (- 3)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 1.2.1.6

Умножим $\frac{5 (- 3)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 3)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 3) = \frac{{(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Возведем $- 3$ в степень $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 3 {(- 3)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3.2

Возведем $- 3$ в степень $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 3 \cdot 9 \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3.3

Умножим $3 \cdot 9 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.3.1

Умножим $3$ на $9$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 27 \cdot 3 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3.3.2

Умножим $27$ на $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 + 5 (- 3) \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3.4

Умножим $5 (- 3) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.4.1

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 - 15 \cdot 3}{3}$

Этап 1.2.3.4.2

Умножим $- 15$ на $3$ .

$f (- 3) = \frac{- 27 + 81 - 45}{3}$

Этап 1.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Добавим $- 27$ и $81$ .

$f (- 3) = \frac{54 - 45}{3}$

Этап 1.2.4.2

Вычтем $45$ из $54$ .

$f (- 3) = \frac{9}{3}$

Этап 1.2.4.3

Разделим $9$ на $3$ .

$f (- 3) = 3$

Этап 1.2.5

Окончательный ответ: $3$ .

$3$

Этап 1.3

Преобразуем $3$ в десятичное представление.

$y = 3$

Этап 2

Найдем точку в $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + 3 {(0)}^{2} + 5 (0)$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Запишем $3 {(0)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2}}{1} + 5 (0)$

Этап 2.2.1.2

Умножим $\frac{3 {(0)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (0)$

Этап 2.2.1.3

Умножим $\frac{3 {(0)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (0)$

Этап 2.2.1.4

Запишем $5 (0)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0)}{1}$

Этап 2.2.1.5

Умножим $\frac{5 (0)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 2.2.1.6

Умножим $\frac{5 (0)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (0) = \frac{{(0)}^{3}}{3} + \frac{3 {(0)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (0) = \frac{{(0)}^{3} + 3 {(0)}^{2} \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3 {(0)}^{2} \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 3 \cdot 0 \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3.3

Умножим $3 \cdot 0 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.3.1

Умножим $3$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 \cdot 3 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3.3.2

Умножим $0$ на $3$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 5 (0) \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3.4

Умножим $5 (0) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.4.1

Умножим $5$ на $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0 \cdot 3}{3}$

Этап 2.2.3.4.2

Умножим $0$ на $3$ .

$f (0) = \frac{0 + 0 + 0}{3}$

Этап 2.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = \frac{0 + 0}{3}$

Этап 2.2.4.2

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = \frac{0}{3}$

Этап 2.2.4.3

Разделим $0$ на $3$ .

$f (0) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + 3 {(- 5)}^{2} + 5 (- 5)$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Запишем $3 {(- 5)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2}}{1} + 5 (- 5)$

Этап 3.2.1.2

Умножим $\frac{3 {(- 5)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 5)$

Этап 3.2.1.3

Умножим $\frac{3 {(- 5)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 5)$

Этап 3.2.1.4

Запишем $5 (- 5)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5)}{1}$

Этап 3.2.1.5

Умножим $\frac{5 (- 5)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 3.2.1.6

Умножим $\frac{5 (- 5)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 5)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 5) = \frac{{(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Возведем $- 5$ в степень $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 3 {(- 5)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3.2

Возведем $- 5$ в степень $2$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 3 \cdot 25 \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3.3

Умножим $3 \cdot 25 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.3.1

Умножим $3$ на $25$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 75 \cdot 3 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3.3.2

Умножим $75$ на $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 + 5 (- 5) \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3.4

Умножим $5 (- 5) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.4.1

Умножим $5$ на $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 - 25 \cdot 3}{3}$

Этап 3.2.3.4.2

Умножим $- 25$ на $3$ .

$f (- 5) = \frac{- 125 + 225 - 75}{3}$

Этап 3.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Добавим $- 125$ и $225$ .

$f (- 5) = \frac{100 - 75}{3}$

Этап 3.2.4.2

Вычтем $75$ из $100$ .

$f (- 5) = \frac{25}{3}$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $\frac{25}{3}$ .

$\frac{25}{3}$

Этап 3.3

Преобразуем $\frac{25}{3}$ в десятичное представление.

$y = 8.\overline{3}$

Этап 4

Найдем точку в $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + 3 {(- 4)}^{2} + 5 (- 4)$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Запишем $3 {(- 4)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2}}{1} + 5 (- 4)$

Этап 4.2.1.2

Умножим $\frac{3 {(- 4)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 4)$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\frac{3 {(- 4)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 4)$

Этап 4.2.1.4

Запишем $5 (- 4)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4)}{1}$

Этап 4.2.1.5

Умножим $\frac{5 (- 4)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 4.2.1.6

Умножим $\frac{5 (- 4)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 4) = \frac{{(- 4)}^{3} + 3 {(- 4)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Возведем $- 4$ в степень $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 3 {(- 4)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 3 \cdot 16 \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.3

Умножим $3 \cdot 16 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.3.1

Умножим $3$ на $16$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 48 \cdot 3 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.3.2

Умножим $48$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 + 5 (- 4) \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.4

Умножим $5 (- 4) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.4.1

Умножим $5$ на $- 4$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 20 \cdot 3}{3}$

Этап 4.2.3.4.2

Умножим $- 20$ на $3$ .

$f (- 4) = \frac{- 64 + 144 - 60}{3}$

Этап 4.2.4

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.4.1

Добавим $- 64$ и $144$ .

$f (- 4) = \frac{80 - 60}{3}$

Этап 4.2.4.2

Вычтем $60$ из $80$ .

$f (- 4) = \frac{20}{3}$

Этап 4.2.5

Окончательный ответ: $\frac{20}{3}$ .

$\frac{20}{3}$

Этап 4.3

Преобразуем $\frac{20}{3}$ в десятичное представление.

$y = 6.\overline{6}$

Этап 5

Найдем точку в $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + 3 {(- 2)}^{2} + 5 (- 2)$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Запишем $3 {(- 2)}^{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2}}{1} + 5 (- 2)$

Этап 5.2.1.2

Умножим $\frac{3 {(- 2)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 5 (- 2)$

Этап 5.2.1.3

Умножим $\frac{3 {(- 2)}^{2}}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + 5 (- 2)$

Этап 5.2.1.4

Запишем $5 (- 2)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2)}{1}$

Этап 5.2.1.5

Умножим $\frac{5 (- 2)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2)}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 5.2.1.6

Умножим $\frac{5 (- 2)}{1}$ на $\frac{3}{3}$ .

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3}}{3} + \frac{3 {(- 2)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (- 2) = \frac{{(- 2)}^{3} + 3 {(- 2)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 3 {(- 2)}^{2} \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.2

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 3 \cdot 4 \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.3

Умножим $3 \cdot 4 \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.3.1

Умножим $3$ на $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 12 \cdot 3 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.3.2

Умножим $12$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 + 5 (- 2) \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.4

Умножим $5 (- 2) \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.4.1

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 10 \cdot 3}{3}$

Этап 5.2.3.4.2

Умножим $- 10$ на $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 8 + 36 - 30}{3}$

Этап 5.2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.4.1

Добавим $- 8$ и $36$ .

$f (- 2) = \frac{28 - 30}{3}$

Этап 5.2.4.2

Вычтем $30$ из $28$ .

$f (- 2) = \frac{- 2}{3}$

Этап 5.2.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f (- 2) = - \frac{2}{3}$

Этап 5.2.5

Окончательный ответ: $- \frac{2}{3}$ .

$- \frac{2}{3}$

Этап 5.3

Преобразуем $- \frac{2}{3}$ в десятичное представление.

$y = - 0.\overline{6}$

Этап 6

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и точки.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8.333 \\ - 4 & 6.667 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 0.667 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 7

График кубической функции можно построить, используя поведение функции и выбранные точки.

Убывает влево и возрастает вправо

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & 8.333 \\ - 4 & 6.667 \\ - 3 & 3 \\ - 2 & - 0.667 \\ 0 & 0 \end{array}$

Этап 8