Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{10 \ln (x - 1)}{x}$

Этап 1

Найдем асимптоты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем, где выражение $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ не определено.

$x = 0, x = 1$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ слева, а $\frac{\ln ({(x - 1)}^{10})}{x}$ $\to$ $- \infty$ как $x$ $\to$ $1$ справа, то $x = 1$ — вертикальная асимптота.

$x = 1$

Этап 1.3

Игнорируя логарифм, рассмотрим рациональную функцию $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ , где $n$ — степень числителя, а $m$ — степень знаменателя.

1. Если $n < m$ , тогда ось x, $y = 0$ , служит горизонтальной асимптотой.

2. Если $n = m$ , тогда горизонтальной асимптотой служит линия $y = \frac{a}{b}$ .

3. Если $n > m$ , тогда нет горизонтальной асимптоты (есть наклонная асимптота).

Этап 1.4

Найдем $n$ и $m$ .

$n = 0$

$m = 1$

Этап 1.5

Поскольку $n < m$ , ось X, $y = 0$ , является горизонтальной асимптотой.

$y = 0$

Этап 1.6

У логарифмических и тригонометрических функций нет наклонных асимптот.

Нет наклонных асимптот

Этап 1.7

Это множество всех асимптот.

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Вертикальные асимптоты: $x = 1$

Горизонтальные асимптоты: $y = 0$

Этап 2

Найдем точку в $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{10 \ln ((2) - 1)}{2}$

Этап 2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Сократим общий множитель $10$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \ln ((2) - 1)$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2}$

Этап 2.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 (1)}$

Этап 2.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (2) = \frac{2 (5 \ln ((2) - 1))}{2 \cdot 1}$

Этап 2.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (2) = \frac{5 \ln ((2) - 1)}{1}$

Этап 2.2.1.2.4

Разделим $5 \ln ((2) - 1)$ на $1$ .

$f (2) = 5 \ln ((2) - 1)$

Этап 2.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$f (2) = 5 \ln (1)$

Этап 2.2.3

Натуральный логарифм $1$ равен $0$ .

$f (2) = 5 \cdot 0$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $0$ .

$f (2) = 0$

Этап 2.2.5

Окончательный ответ: $0$ .

$0$

Этап 2.3

Преобразуем $0$ в десятичное представление.

$y = 0$

Этап 3

Найдем точку в $x = 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f (3) = \frac{10 \ln ((3) - 1)}{3}$

Этап 3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $10 \ln (3 - 1)$ путем переноса $10$ под логарифм.

$f (3) = \frac{\ln ({(3 - 1)}^{10})}{3}$

Этап 3.2.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $3$ .

$f (3) = \frac{\ln (2^{10})}{3}$

Этап 3.2.2.2

Возведем $2$ в степень $10$ .

$f (3) = \frac{\ln (1024)}{3}$

Этап 3.2.3

Перепишем $\frac{\ln (1024)}{3}$ в виде $\frac{1}{3} \ln (1024)$ .

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot \ln (1024)$

Этап 3.2.4

Упростим $\frac{1}{3} \ln (1024)$ путем переноса $\frac{1}{3}$ под логарифм.

$f (3) = \ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.2.5

Окончательный ответ: $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ .

$\ln (1024^{\frac{1}{3}})$

Этап 3.3

Преобразуем $\ln (1024^{\frac{1}{3}})$ в десятичное представление.

$y = 2.3104906$

Этап 4

Найдем точку в $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f (4) = \frac{10 \ln ((4) - 1)}{4}$

Этап 4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $10$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем множитель $2$ из $10 \ln ((4) - 1)$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{4}$

Этап 4.2.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 (2)}$

Этап 4.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (4) = \frac{2 (5 \ln ((4) - 1))}{2 \cdot 2}$

Этап 4.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (4) = \frac{5 \ln ((4) - 1)}{2}$

Этап 4.2.2

Упростим $5 \ln (4 - 1)$ путем переноса $5$ под логарифм.

$f (4) = \frac{\ln ({(4 - 1)}^{5})}{2}$

Этап 4.2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Вычтем $1$ из $4$ .

$f (4) = \frac{\ln (3^{5})}{2}$

Этап 4.2.3.2

Возведем $3$ в степень $5$ .

$f (4) = \frac{\ln (243)}{2}$

Этап 4.2.4

Перепишем $\frac{\ln (243)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (243)$ .

$f (4) = \frac{1}{2} \cdot \ln (243)$

Этап 4.2.5

Упростим $\frac{1}{2} \ln (243)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f (4) = \ln (243^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.2.6

Окончательный ответ: $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ .

$\ln (243^{\frac{1}{2}})$

Этап 4.3

Преобразуем $\ln (243^{\frac{1}{2}})$ в десятичное представление.

$y = 2.74653072$

Этап 5

График логарифмической функции можно построить с помощью вертикальной асимптоты в точке $x = 1$ и точек $(2, 0), (3, 2.3104906), (4, 2.74653072)$ .

Вертикальная асимптота: $x = 1$

$\begin{array}{c} x & y \\ 2 & 0 \\ 3 & 2.31 \\ 4 & 2.747 \end{array}$

Этап 6